#執筆中/行列式の導出/ソース

行列式の導出

行列式の定義を見ると,どうしてこのような式を考え付いたのか想像しにくいですね. 行列式を使わずに連立1次方程式を解いて,行列式の導出を試みましょう.

3元連立1次方程式

一般の場合は式が複雑で考えにくいので,まず

a_1 x + b_1 y + c_1 z = d_1 \\a_2 x + b_2 y + c_2 z = d_2 \\a_3 x + b_3 y + c_3 z = d_3

について考えましょう.|9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6|を求めるために

System Message: WARNING/2 (<stdin>, line 25); backlink

Inline substitution_reference start-string without end-string.
a_i x + b_i y + c_i z = d_i

の辺々に \pm b_j c_k (i \neq j \neq k \neq i) をかけた

\pm (a_i b_j c_k x + b_i b_j c_k y + c_i b_j c_k z) = \pm d_i b_j c_k

に対して,例えば

+ a_1 b_2 c_3 x + b_1 b_2 c_3 y + c_1 b_2 c_3 z = + d_1 b_2 c_3 \\- a_2 b_1 c_3 x - b_2 b_1 c_3 y - c_2 b_1 c_3 z = - d_2 b_1 c_3

を辺々加算すると|415290769594460e2e485922904f345d|の係数が

(b_1 b_2 - b_2 b_1) c_3 = 0

となります.また,

+ a_1 b_2 c_3 x + b_1 b_2 c_3 y + c_1 b_2 c_3 z = + d_1 b_2 c_3 \\- a_3 b_2 c_1 x - b_3 b_2 c_1 y - c_3 b_2 c_1 z = - d_3 b_2 c_1

を加算すると|fbade9e36a3f36d3d676c1b808451dd7|の係数が 0 になります.|415290769594460e2e485922904f345d|の係数には|367d0e931a088df0a8e7addc945fa7eb|が,|fbade9e36a3f36d3d676c1b808451dd7|の係数には |009602b61b3aa17c7e249bdb3864d338|が含まれているのがポイントで,|81033fe7e7162fdaa29fd8b3525a25b4|ならば

System Message: WARNING/2 (<stdin>, line 75); backlink

Inline substitution_reference start-string without end-string.

System Message: WARNING/2 (<stdin>, line 75); backlink

Inline substitution_reference start-string without end-string.

System Message: WARNING/2 (<stdin>, line 75); backlink

Inline substitution_reference start-string without end-string.

System Message: WARNING/2 (<stdin>, line 75); backlink

Inline substitution_reference start-string without end-string.
(s_{ijk} b_i b_j - s_{jik} b_j b_i) c_k y = 0

|7008774ba2a3c07021d61c54294cb0ef|ならば

System Message: WARNING/2 (<stdin>, line 86); backlink

Inline substitution_reference start-string without end-string.
(s_{ijk} c_i c_k - s_{kji} c_k c_i) b_j z = 0

となるので,|39ea6ef2598040e5f573f664f028a80b|を初期値として符号|f8d6856ce7090fa6159170fbc855477e|を|2acdabd94f93ff7d4c45f49f5bbea51e| によって順次定めると

+ a_1 b_2 c_3 x + b_1 b_2 c_3 y + c_1 b_2 c_3 z = + d_1 b_2 c_3 \\- a_1 b_3 c_2 x - b_1 b_3 c_2 y - c_1 b_3 c_2 z = - d_1 b_3 c_2 \\+ a_2 b_3 c_1 x + b_2 b_3 c_1 y + c_2 b_3 c_1 z = + d_2 b_3 c_1 \\- a_2 b_1 c_3 x - b_2 b_1 c_3 y - c_2 b_1 c_3 z = - d_2 b_1 c_3 \\+ a_3 b_1 c_2 x + b_3 b_1 c_2 y + c_3 b_1 c_2 z = + d_3 b_1 c_2 \\- a_3 b_2 c_1 x - b_3 b_2 c_1 y - c_3 b_2 c_1 z = - d_3 b_2 c_1

が得られ,総和をとると|415290769594460e2e485922904f345d|,|fbade9e36a3f36d3d676c1b808451dd7|の係数がいずれも 0 になることが分かります.

System Message: WARNING/2 (<stdin>, line 107); backlink

Inline substitution_reference start-string without end-string.

置換による表現

集合|ac53d6834f53864f6cce98789b19b970|に対する1対1写像を置換といい,とくに |ac53d6834f53864f6cce98789b19b970|の任意の2数だけを交換する置換を互換といいます. |865c0c0b4ab0e063e5caa3387c1a8741|と|363b122c528f54df4a0446b6bab05515|を交換する互換|a2ab7d71a0f07f388ff823293c147d21|は

System Message: WARNING/2 (<stdin>, line 115); backlink

Inline substitution_reference start-string without end-string.

System Message: WARNING/2 (<stdin>, line 115); backlink

Inline substitution_reference start-string without end-string.
\sigma(i) = j,~~ \sigma(j) = i,~~\sigma(k) = k (k \neq i, j)

ですが,これを|5e33e4b364139e91328f66f0e78efc2c|とかきます.任意の置換は互換の繰り返し(合成写像)で 表現できます.表現の仕方はいろいろありますが,置換を表現するのに必要な互換 の数は偶数か奇数かは変わりません.互換の数が偶数の置換を偶置換,奇数の置換を 奇置換といい,置換の符号を

Error : LaTeX command contains irregal 2bytes character(s).

で定めます.|f8d6856ce7090fa6159170fbc855477e|の|e11e7dc346a4f3f8196cc186c06f11d1|は互いに異なるので,置換|a2ab7d71a0f07f388ff823293c147d21|を用いて

System Message: WARNING/2 (<stdin>, line 140); backlink

Inline substitution_reference start-string without end-string.
i = \sigma(1), j = \sigma(2), k = \sigma(3)

と表現でき,置換を用いると|7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1|元連立1次方程式への拡張が容易になります.

一般化準備として,まず

s_{ijk} b_j c_k (a_i x + b_i y + c_i z) = s_{ijk} d_i b_j c_k

を置換を用いて書き換えましょう.|80fed756c8358e6a19850beb8178f9bd|とし

System Message: WARNING/2 (<stdin>, line 162); backlink

Inline substitution_reference start-string without end-string.
i = \sigma(1), j = \sigma(2), k = \sigma(3) \\a_i = a_{i1}, b_i = a_{i2}, c_i = a_{i3} \\x = x_1, y = x_2, z = x_3

を代入した

s_\sigma a_{\sigma(2)2} a_{\sigma(3)3} \sum_{k=1}^3 a_{\sigma(1)k} x_k= s_\sigma d_{\sigma(1)} a_{\sigma(2)2} a_{\sigma(3)3}

が|aa687da0086c1ea060a8838e24611319|を求める式であることに注意.|8732099f74d777a67257cb2f04ead3d8|を求めるときの式は

System Message: WARNING/2 (<stdin>, line 182); backlink

Inline substitution_reference start-string without end-string.
s_\sigma a_{\sigma(2)1} a_{\sigma(3)3} \sum_{k=1}^3 a_{\sigma(1)k} x_k= s_\sigma d_{\sigma(1)} a_{\sigma(2)1} a_{\sigma(3)3}

あるいは|a2ab7d71a0f07f388ff823293c147d21|を変更した

s_\sigma a_{\sigma(1)1} a_{\sigma(3)3} \sum_{k=1}^3 a_{\sigma(2)k} x_k= s_\sigma d_{\sigma(2)} a_{\sigma(1)1} a_{\sigma(3)3}

であり,|1f89889020cdc84d9e1c35237cb62f65|を求める式は

System Message: WARNING/2 (<stdin>, line 202); backlink

Inline substitution_reference start-string without end-string.
s_\sigma \sum_{k=1}^3 a_{\sigma(j)k} x_k \prod_{I \neq j} a_{\sigma(i)i}= s_\sigma d_{\sigma(j)} \prod_{i \neq j} a_{\sigma(i)i}

です.上式の 3 を|7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1|で置換し,|a2ab7d71a0f07f388ff823293c147d21|の定義域を|baf9bcdf3df7765be566d31a4efa8b3d|と考えれば, そのまま一般の場合に適用できます.

System Message: WARNING/2 (<stdin>, line 212); backlink

Inline substitution_reference start-string without end-string.

一般化

3 を|7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1|で置換し,|a2ab7d71a0f07f388ff823293c147d21|の定義域を|baf9bcdf3df7765be566d31a4efa8b3d|と考えても|1f89889020cdc84d9e1c35237cb62f65|を同じ式で 求められることを確かめましょう.

System Message: WARNING/2 (<stdin>, line 222); backlink

Inline substitution_reference start-string without end-string.
\sum_{k=1}^n a_{\sigma(j)k} x_k s_\sigma \prod_{i \neq j} a_{\sigma(i) i}= d_{\sigma(j)} s_\sigma \prod_{i \neq j} a_{\sigma(i) i}

の|a2ab7d71a0f07f388ff823293c147d21|についての総和をとると,|945315e9d656ad23442dd758248b758e|の係数は

System Message: WARNING/2 (<stdin>, line 233); backlink

Inline substitution_reference start-string without end-string.
\sum_\sigma s_\sigma a_{\sigma(j) k} a_{\sigma(k) k}\prod_{i \neq j, k} a_{\sigma(i) i} = 0

となります.ここで|82cb38cfb7b8f079dda70c6a96f37479|は|2468f06b771fbc7d1f1af1eea1aed3db|,|c0b0371dad9f5aa0cb29a960a14d491f|は |1ef7668554b437666dc6bca399e6ff14|を意味します.上式が成立することは |e4f7b01030892a5ebb9a21e5fded02be|である任意の置換|88207bc086c9d879c22807479d29a9e2|に対して置換 |2cbc2f0a6d893fbbd534422e917a3281|が存在して,

System Message: WARNING/2 (<stdin>, line 243); backlink

Inline substitution_reference start-string without end-string.

System Message: WARNING/2 (<stdin>, line 243); backlink

Inline substitution_reference start-string without end-string.

System Message: WARNING/2 (<stdin>, line 243); backlink

Inline substitution_reference start-string without end-string.

System Message: WARNING/2 (<stdin>, line 243); backlink

Inline substitution_reference start-string without end-string.
s_{\sigma'} a_{\sigma'(j)k} a_{\sigma'(k)k} + s_{\sigma''} a_{\sigma''(j)k} a_{\sigma''(k)k} = 0 \\a_{\sigma'(i)i} = a_{\sigma''(i)i} (i \neq j, k)

となることで証明できます.

補遺

  1. 発見的に考えるには対象を簡単化して見易い記号を使うこと.最初から
a_{i1} x_1 + a_{i2} x_2 + \cdots + a_{in} x_n = d_i

で考えようとすると無用な複雑さで思考が妨げられます.

(2)「3元連立1次方程式」では|6ad43a65711267334c0d010419163143| に \pm b_j c_k を 天下り的にかけましたが,

a_1 x + b_1 y + c_1 z = d_1 \\a_2 x + b_2 y + c_2 z = d_2

から|fbade9e36a3f36d3d676c1b808451dd7|を消去すると

(c_1 a_2 ?c_2 a_1) x + (c_1 b_2 ? c_2 b_1) y = c_1 d_2 ? c_2 d_1

が得られ,同様に

(c_2 a_3 ?c_3 a_2) x + (c_2 b_3 ? c_3 b_2) y = c_2 d_3 ? c_3 d_2 \\(c_3 a_1 ?c_1 a_3) x + (c_3 b_1 ? c_1 b_3) y = c_3 d_1 ? c_1 d_3

も成立するので,|415290769594460e2e485922904f345d|の係数に注目して

System Message: WARNING/2 (<stdin>, line 308); backlink

Inline substitution_reference start-string without end-string.
\begin{array}{rrrrr}b_3 (c_1 b_2 ? c_2 b_1) & = & b_2 b_3 c_1 & - b_3 b_1 c_2 & \\b_1 (c_2 b_3 ? c_3 b_2) & = & & b_3 b_1 c_2 & - b_1 b_2 c_3 \\b_2 (c_3 b_1 ? c_1 b_3) & = & - b_2 b_3 c_1 & & + b_1 b_2 c_3 \\\end{array}

から,加重加算によって|415290769594460e2e485922904f345d|の係数を にできることが分かります.行列式で表すと

- b_1 \left| \begin{array}{cc} b_2 & c_2 \\ b_3 & c_3 \end{array} \right| + b_2 \left| \begin{array}{cc} b_1 & c_1 \\ b_3 & c_3 \end{array} \right|- b_3 \left| \begin{array}{cc} b_1 & c_1 \\ b_2 & c_2 \end{array} \right|= 0

です.

  1. 連立1次方程式
\sum_{k=1}^n a_{ik} x_k = d_i

の解|1f89889020cdc84d9e1c35237cb62f65|は

> ! File ended while scanning use of \align*. \sum_\sigma s_\sigma a_{\sigma(j)k} a_{\sigma(k)k} \prod_{i \neq j} a_{\sigma(i)i} = 0 > ! Missing } inserted.

から|1f89889020cdc84d9e1c35237cb62f65|の係数が0でなければ一意に定まります.

|16868711d2f80fc5c4b56ed9721a2224|を|e9e0a5801a1a99ca1d3b024c594095bc|要素とする|7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1|次正方行列|7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29|の行列式は

System Message: WARNING/2 (<stdin>, line 368); backlink

Inline substitution_reference start-string without end-string.
|A| = \sum_\sigma {\rm sgn}(\sigma) \prod_{i=1}^n a_{\sigma(i) i}

で定義されるので,|1f89889020cdc84d9e1c35237cb62f65|の係数が|16868711d2f80fc5c4b56ed9721a2224|を|dadd98b275f56f5ef19c1bc63ba2dccb|要素とする|7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1|次正方行列|7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29|の 行列式であり,上式右辺は行列|7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29|の|abef081fd754a0a09d3b9c4dae967b28|要素を|d247f594c78d0d2be10fc6d82512cc4e|で置換した 行列の行列式になっていることを確かめられます.

System Message: WARNING/2 (<stdin>, line 378); backlink

Inline substitution_reference start-string without end-string.

あとがき

Docutils System Messages

System Message: ERROR/3 (<stdin>, line 96); backlink

Undefined substitution referenced: "39ea6ef2598040e5f573f664f028a80b|を初期値として符号|f8d6856ce7090fa6159170fbc855477e|を|2acdabd94f93ff7d4c45f49f5bbea51e".

参考文献

  1. http://
  2. http://
Valid XHTML 1.0! [home] [初等代数] [ページの先頭]