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相関関数と畳み込み積分のフーリエ変換

今回は物理とは距離を置いて，物理を勉強する上で僕がつきあたった 数学的問題の一つを，厳密さに欠けますが，書こうと思います． 厳密には，積分の順序を交換する時，それぞれの積分が絶対収束することを 言わねばなりません．

相関関数

実数の物理量 \phi_1(t_0) と， \phi_2(t_0) の相互相関関数 C_{12}(t) とは，

C_{12}(t) \equiv \int_{-\infty}^{\infty} \phi_1(t+t_0) \phi_2(t_0) dt_0

と定義されます．注意しておくこととして，相互相関関数は，自己相関関数（ \phi_1(t)=\phi_2(t) の時）と違い，偶関数にはなりません．

相関関数のフーリエ変換

これをフーリエ変換するとどうなるか，と言うのが，今回の問題です． やってみますと，

\mathcal{F}(C_{12}(t)) &= \int_{-\infty}^{\infty} e^{-i \omega t} \int_{-\infty}^{\infty} \phi_1(t+t_0) \phi_2(t_0) dt_0 dt \\&= \int_{-\infty}^{\infty} e^{-i \omega t} \int_{-\infty}^{\infty} \phi_1(t+t_0) \phi_2(t_0) dt_0 dt \\&= \int_{-\infty}^{\infty} e^{-i \omega (t+t_0)} \phi_1(t+t_0) d(t+t_0) \int_{-\infty}^{\infty} \phi_2(t_0)e^{i \omega t_0} dt_0 \\&= \mathcal{F} \phi_1(\omega) \int_{-\infty}^{\infty} \phi_2(t_0) e^{i \omega t_0} dt_0 \\&= \mathcal{F} \phi_1(\omega) \mathcal{F} \phi_2(- \omega)

となります．ここで， \phi_1 と \phi_2 を入れ替えれば， \mathcal{F}(C_{21}(t))= \mathcal{F} \phi_1(- \omega) \mathcal{F} \phi_2(\omega) = \mathcal{F}(C_{12}(-t)) が成立します．

余談ですが，もしかすると，ヤコビアンに関する知識が必要かもしれません． つまりは， s=t+t_0 と置くと， t_0=t_0 ， t=s-t_0 より，

dt_0 dt &= \begin{vmatrix}\dfrac{\partial t_0}{\partial t_0} & \dfrac{\partial t_0}{\partial s} \\\dfrac{\partial t}{\partial t_0} & \dfrac{\partial t}{\partial s}\end{vmatrix} dt_0 d(t+t_0) \\&= \begin{vmatrix}\dfrac{\partial t_0}{\partial t_0} & \dfrac{\partial t_0}{\partial s} \\\dfrac{\partial (s-t_0)}{\partial t_0} & \dfrac{\partial (s-t_0)}{\partial s}\end{vmatrix} dt_0 d(t+t_0) \\&= \begin{vmatrix}1 & 0 \\-1 & 1\end{vmatrix} dt_0 d(t+t_0) \\&= dt_0 d(t+t_0)

です．

畳み込み積分とフーリエ変換

畳み込み積分というものを定義します．

h(t) \equiv \int_{-\infty}^\infty \phi_1( \tau )\phi_2(t- \tau ) d\tau

これもフーリエ変換してみましょう．

\mathcal{F}(h(t)) &= \int_{-\infty}^\infty e^{-i \omega t} \int_{-\infty}^\infty \phi_1( \tau )\phi_2(t- \tau ) d\tau dt\\&= \int_{-\infty}^\infty e^{-i \omega (t- \tau ) }\phi_2(t- \tau ) d t \int_{-\infty}^\infty e^{- i \omega \tau} \phi_1( \tau ) d \tau \\&= \int_{-\infty}^\infty e^{-i \omega (t- \tau ) }\phi_2(t- \tau ) d (t-\tau) \int_{-\infty}^\infty e^{- i \omega \tau} \phi_1( \tau ) d \tau \\&= \mathcal{F} \phi_2( \omega ) \int_{-\infty}^\infty e^{-i \omega \tau} \phi_1( \tau ) d \tau \\&= \mathcal{F} \phi_2 ( \omega ) \mathcal{F} \phi_1 ( \omega )

こうなりました．何かの参考になれば幸いです．

それでは，今日はこの辺で．