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オイラー・ラグランジュ方程式の座標非依存性

オイラー・ラグランジュ方程式

\left(\dfrac{\partial L}{\partial q_i} \right)- \dfrac{d}{dt} \left(\dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \right) = 0 \tag{1}

は，デカルト座標系で表された場合でも， 極座標で表された時でも，等しく成り立つのでした． どんな座標系 q_i から座標系 \eta_j への同次変換

q_i = q_i(\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n) \ \ \ (i = 1,2, \cdots n) \tag{2}

で考えても，オイラー・ラグランジュ方程式が成立することを証明します． 簡単の為，ラグランジアンは時間に依存しないものとします． ある程度分かっている人向けだと思います．

ちょっと復習

そもそもオイラー・ラグランジュ方程式は，どうやって導出されたのでしょうか． 軽く振り返ってみましょう．

自然界では作用 S （＝ラグランジアン L の時間積分）と呼ばれる量が停留値を取るように運動がおこります． これをハミルトンの原理とか，最小作用の原理といいます．

数式で表すと， A 点 B 点の間では

S = \int_A^B L(q_1 , \dot{q}_1 , \cdots , q_n , \dot{q}_n ) dt \tag{3}

として，その変分を \delta S とし，境界項を省略すると，

\delta S &= \delta \int_A^B L(q_1 , \dot{q}_1,\cdots) dt \\&= \int_A^B \left\{ L(q_1 + \delta q_1, \dot{q}_1+\delta \dot{q}_1,\cdots) - L(q_1 , \dot{q}_1 , \cdots ) \right\} dt \\&= \int_A^B \left\{ L(q_1 + \delta q_1, \dot{q}_1+\delta \dot{q}_1,\cdots) - L(q_1, \dot{q}_1+\delta \dot{q}_1 \cdots ) \right. \\&+ \left. L(q_1 , \dot{q}_1+\delta \dot{q}_1,\cdots) - L(q_1 , \dot{q}_1,\cdots) \right\} + \cdots dt \\&= \int_A^B \left( \dfrac{\partial L(q_1, \dot{q}_1,\cdots)}{\partial q_1} \delta q_1 + \dfrac{\partial L(q_1, \dot{q}_1,\cdots)}{\partial \dot{q}_1}) \delta \dot{q}_1 \right) dt \\&+ \int_A^B \left( \dfrac{\partial L(q_1, \dot{q}_1,\cdots)}{\partial q_2} \delta q_2 + \dfrac{\partial L(q_1, \dot{q}_1,\cdots)}{\partial \dot{q}_2}) \delta \dot{q}_2 \right) dt + \cdots \\&= \sum_{i=1}^n \int_A^B \left( \dfrac{\partial L (q_1, \dot{q}_1,\cdots)}{\partial q_i } \delta q_i - \dfrac{d}{dt} \left( \dfrac{\partial L(q_1, \dot{q}_1,\cdots)}{\partial \dot{q}_i} \right) \delta q_i \right) dt \\&= \sum_{i=1}^n \int_A^B \left( \dfrac{\partial L (q_1, \dot{q}_1,\cdots)}{\partial q_i} - \dfrac{d}{dt} \left( \dfrac{\partial L(q_1, \dot{q}_1,\cdots)}{\partial \dot{q}_i} \right) \right) \delta q_i dt \\&= 0 \tag{4}

このゼロが恒等的に成立するとすると，オイラー・ラグランジュ方程式，

\dfrac{\partial L (q_1, \dot{q}_1,\cdots)}{\partial q_i} - \dfrac{d}{dt} \left( \dfrac{\partial L(q_1, \dot{q}_1,\cdots)}{\partial \dot{q}_i} \right) = 0 \ \ \ \ (i= 1,2,\cdots,n) \tag{5}

が導かれます．

さぁ，座標変換だ

さて，そろそろ本題に入りましょう．座標変換，

q_i = q_i(\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n) \ \ \ (i = 1,2, \cdots n) \tag{6}

が与えられているとします．

この時には，

&\sum_{i=1}^n \dfrac{\partial \eta_k}{\partial q_i}\dfrac{\partial q_i}{\partial \eta_j} \\&= \dfrac{\partial \eta_k}{\partial \eta_j} \\&= \delta_{kj} \tag{7}

が成立することを確認しておきます．このδはクロネッカーのデルタ記号です．すると，ラグランジアンの一部について，

\sum_{i=1}^n \dfrac{\partial L}{\partial q_i} \delta q_i &= \sum_{i,j,k=1}^n \dfrac{\partial L}{\partial \eta_k} \dfrac{\partial \eta_k}{\partial q_i} \dfrac{\partial q_i}{\partial \eta_j} \delta \eta_j \\&= \sum_{j,k=1}^n \dfrac{\partial L}{\partial \eta_k} \dfrac{\partial \eta_k}{\partial \eta_j} \delta \eta_j \\&= \sum_{j,k=1}^n \dfrac{\partial L}{\partial \eta_k} \delta_{kj} \delta \eta_j \\&= \sum_{j=1}^n \dfrac{\partial L}{\partial \eta_j} \delta \eta_j \tag{8}

が成立します．同様に，後半部分も，

\sum_{i=1}^n \dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \delta \dot{q}_i &= \sum_{i,j,k=1}^n \dfrac{\partial L}{\partial \dot{\eta}_k} \dfrac{\partial \dot{\eta}_k}{\partial \dot{q}_i} \dfrac{\partial \dot{q}_i}{\partial \dot{\eta}_j} \delta \dot{\eta}_j \\&= \sum_{j,k=1}^n \dfrac{\partial L}{\partial \dot{\eta}_k} \dfrac{\partial \dot{\eta}_k}{\partial \dot{\eta}_j} \delta \dot{\eta}_j \\&= \sum_{j,k=1}^n \dfrac{\partial L}{\partial \dot{\eta}_k} \delta_{kj} \delta \dot{\eta}_j \\&= \sum_{j=1}^n \dfrac{\partial L}{\partial \dot{\eta}_j} \delta \dot{\eta}_j \tag{9}

となります．よって，

\delta S &= \sum_{i=1}^n \int_A^B \left( \dfrac{\partial L}{\partial q_i} \delta q_i + \dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \delta \dot{q}_i \right) dt \\&= \sum_{j=1}^n \int_A^B \left( \dfrac{\partial L}{\partial \eta_j} \delta \eta_j + \dfrac{\partial L}{\partial \dot{\eta}_j} \delta \dot{\eta}_j \right) dt \\&= \sum_{j=1}^n \int_A^B \left( \dfrac{\partial L}{\partial \eta_j} - \dfrac{d}{dt} \left( \dfrac{\partial L}{\partial \dot{\eta}_j} \right) \right) \delta \eta_j dt \\&= 0 \tag{10}

となり，無事，別の座標系 \eta_j でも恒等的にゼロに等しいので， オイラー・ラグランジュ方程式の別の座標系での表現，

\dfrac{\partial L}{\partial \eta_j} - \dfrac{d}{dt} \left( \dfrac{\partial L}{\partial \dot{\eta}_j} \right) = 0 \tag{11}

が導けました．今日はここまで，お疲れ様でした．