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フーリエ変換はある種のπ/2回転と見れること

最近，フーリエ変換は回転の様なものだと別の二人の方からお聞きしました．最初，何を言っているか分からなかったのですが，流石に何度も聞くと「ちょっと考えてみるか」と言う気分になり考えてみて，やっといい具体例が見つかったので記事にします．あんまり説明は要らないと思うので，もっぱら数式を書いていきます．

フーリエ変換を何度も行う

フーリエ変換を次の様に定めます．

$\hat{f}(k) = \dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^\infty f(x) e^{ikx} dx \tag{1}$

ここで

$f_1(x) = e^{ik_0 x} \tag{2}$

と置くと，

$\hat{f}_2(k) &= \dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^\infty f_1(x) e^{ikx} dx \\&= \dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^\infty e^{i(k_0+k)x} dx \\&= \dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}} 2 \pi \delta(k_0+k) dx \\&= \sqrt{2 \pi} \delta(k_0+k) \tag{3}$

これで一回目です．次に変数の $k \to x$ の置き換えをしてフーリエ変換すれば，

$f_2(x) = \sqrt{2 \pi} \delta(x_0+x) \tag{4}$ $\hat{f}_3(k) &= \dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^\infty f_2(x) e^{ikx} dx \\&= \dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^\infty \sqrt{2 \pi} \delta(x+x_0) e^{ikx} dx \\&= e^{-ikx_0}\tag{5}$

となります．次に行きましょう！

$f_3(x) = e^{-i k_0 x} \tag{6}$ $\hat{f}_4(k) &= \dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^\infty f_3(x) e^{ikx} dx \\&= \dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^\infty e^{i(k-k_0)x} dx \\&= \sqrt{2 \pi} \delta(k-k_0)\tag{7}$

ここで，敢えて f_4 ではなく f_0 とします．理由は後で分かります．すると，

$f_0(x) = \sqrt{2 \pi} \delta(x-x_0)\tag{8}$ $\hat{f}_1(k) &= \dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^\infty f_0(x) e^{ikx} dx \\&= \dfrac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^\infty \sqrt{2 \pi} \delta(x-x_0) e^{ikx} dx \\&= e^{ikx_0} \tag{9}$

つまり，