短い記事です.積分をする時に を として, としますが, 少なくとも僕は最初とまどいました. 不思議な事に としても同じ結果が得られます. それの根拠を探ります.
この記事ではこれを一般化して,
と,
の同値性を示します.
まず,式 から式 を導きます. 前提として,鎖の規則と逆関数の微分法を認めます.
準備として の原始関数の一つを ,積分定数 として,
となります.ここで,式 の最終行の両辺を で微分します.
こうして,式 から式 が導けました. そして,逆をたどれば式 から式 を導けます.
よって,鎖の規則と逆関数の微分法を認めることで, 式 と式 は同値なものであると分かりました.
今日はこの辺で,お疲れさまでした.