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斜交座標での２次元フーリエ変換

二次元フーリエ変換ってありますよね．僕が今まで見たことあるものは， 全て２つの変数が直交したものでした．そこで，今回２つの変数が斜交座標を なしている時のフーリエ変換を考えます．

この記事の結論から書くと，

\mathcal{F}(f(x,y)) &= \int_{-\infty}^\infty dy \int_{-\infty}^\infty dx f(x,y) \exp \left( -i \omega_1 x \right) \exp \left( -i \omega_2 y\right) \\&= \hat{f}(\omega_1,\omega_2) \tag{1} \mathcal{F}^{-1}(\hat{f}(\omega_1,\omega_2)) &= \dfrac{1}{(2 \pi)^2} \int_{-\infty}^\infty d \omega_2 \int_{-\infty}^\infty d \omega_1 \hat{f}(\omega_1,\omega_2) \exp \left( i \omega_1 x^\prime \right) \exp \left( i \omega_2 y^\prime \right) \\&= f(x^\prime,y^\prime) \tag{2}

に対して，次の \mathcal{G} で斜交座標系でのフーリエ変換を定義すると，

\mathcal{G}(f(x,y))&= \int_{-\infty}^\infty dy \int_{-\infty}^\infty dx f(x,y) \exp \left( -i(ax+by)\omega_1 \right) \exp \left( -i(cx+dy)\omega_2 \right) \\&= \int_{-\infty}^\infty dy \int_{-\infty}^\infty dx f(x,y) \exp \left( -i(a \omega_1 + c \omega_2)x \right) \exp \left( -i(b \omega_1 + d \omega_2)y \right) \\&= \hat{f}(a \omega_1 + c \omega_2 , b \omega_1 + d \omega_2) \tag{3}

と，普通の二次元フーリエ変換の波数 \omega_1,\omega_2 がそれぞれ a \omega_1 + c \omega_2 , b \omega_1 + d \omega_2 で置き換えられたものとなり，更に逆変換は次のようになります．

\mathcal{G}^{-1}(\hat{f}) &= \dfrac{1}{(2 \pi)^2} \int_{-\infty}^\infty d \omega_2 \int_{-\infty}^\infty d \omega_1 \hat{f}(a \omega_1 + c \omega_2 , b \omega_1 + d \omega_2) \exp \left( i(ax^\prime +by^\prime )\omega_1 \right) \exp \left(i(cx^\prime +dy^\prime )\omega_2 \right) \\&= \dfrac{1}{ad-bc} f(x^\prime,y^\prime) \tag{4}

が成立します．

証明

\mathcal{G}^{-1} \left( \mathcal{G}(f) \right) &= \dfrac{1}{(2 \pi)^2} \int_{-\infty}^\infty d \omega_2 \int_{-\infty}^\infty d \omega_1 \int_{-\infty}^\infty dy \int_{-\infty}^\infty dx f(x,y) \exp \left( -i(ax+by)\omega_1 \right) \exp \left( -i(cx+dy)\omega_2 \right) \exp \left( i(ax^\prime +by^\prime )\omega_1 \right) \exp \left(i(cx^\prime +dy^\prime )\omega_2 \right) \\&= \dfrac{1}{(2 \pi)^2} \int_{-\infty}^\infty d \omega_2 \int_{-\infty}^\infty d \omega_1 \int_{-\infty}^\infty dy \int_{-\infty}^\infty dx f(x,y) \exp \left( i \left( (ax^\prime +by^\prime ) - (ax+by) \right) \omega_1 \right) \exp \left( i \left( (cx^\prime +d^\prime ) - (cx+dy) \right) \omega_2 \right) \\&= \dfrac{1}{(2 \pi)^2} \int_{-\infty}^\infty dy \int_{-\infty}^\infty dx f(x,y) \int_{-\infty}^\infty d \omega_1 \exp \left( i \left( (ax^\prime +by^\prime ) - (ax+by) \right) \omega_1 \right) \int_{-\infty}^\infty d \omega_2 \exp \left( i \left( (cx^\prime +d^\prime ) - (cx+dy) \right) \omega_2 \right) \\&= \dfrac{1}{(2 \pi)^2} \int_{-\infty}^\infty dy \int_{-\infty}^\infty dx f(x,y) 2 \pi \delta((ax^\prime +by^\prime ) - (ax+by))2 \pi \delta((cx^\prime +dy^\prime ) - (cx+dy)) \\&= \int_{-\infty}^\infty dy \int_{-\infty}^\infty dx f(x,y) \delta((ax+by)-(ax^\prime +by^\prime )) \delta((cx+dy)-(cx^\prime +dy^\prime )) \tag{5}

ここで，

\int_{-\infty}^\infty d \omega \exp \left( i a (x^\prime - x) \omega \right) &= 2 \pi \delta \left( a (x^\prime - x) \right) \tag{6} \\\delta(x) &= \delta(-x) \tag{7}

を用いました．さて，ここで

\begin{cases}s &= ax + by \\t &= cx + dy\end{cases} \tag{8}

と置きます．すると，

dsdt &= \begin{vmatrix} \dfrac{\partial s}{\partial x} & \dfrac{\partial s}{\partial y} \\\dfrac{\partial t}{\partial x} & \dfrac{\partial t}{\partial y} \end{vmatrix} dxdy \\&= (ad-bc)dxdy \tag{9}

です．つまり，

dxdy &= \dfrac{1}{ad-bc} dsdt \tag{10}

を使って，

&\int_{- \infty}^\infty dx \int_{- \infty}^\infty dy \delta((ax+by)-(ax^\prime +by^\prime )) \delta((cx+dy)-(cx^\prime +dy^\prime )) \\&= \int_{- \infty}^\infty \int_{- \infty}^\infty \delta (s-s^\prime ) \delta (t-t^\prime ) dx dy \\&= \dfrac{1}{ad-bc} \iint \delta (s-s^\prime ) \delta (t-t^\prime ) ds dt \\&= \dfrac{1}{ad-bc} \tag{11}

ですから，

\delta((ax+by)-(ax^\prime +by^\prime )) \delta((cx+dy)-(cx^\prime +dy^\prime )) = \dfrac{1}{ad-bc} \delta(x-x^\prime) \delta(y-y^\prime) \tag{12}

となります．よって，

\mathcal{G}^{-1} \left( \mathcal{G}(f) \right) &= \int_{-\infty}^\infty dy \int_{-\infty}^\infty dx f(x,y) \delta((ax+by)-(ax^\prime +by^\prime )) \delta((cx+dy)-(cx^\prime +dy^\prime )) \\&= \dfrac{1}{ad-bc} \int_{-\infty}^\infty dy \int_{-\infty}^\infty dx f(x,y) \delta(x-x^\prime) \delta(y-y^\prime) \\&= \dfrac{1}{ad-bc} f(x^\prime,y^\prime) \tag{13}

が言えました．この積分の微小要素 dxdy は符号付きで あります． x 方向を反時計周りに９０度回転すると y 方向となる． この時積分素 dxdy は正になります． \omega_1,\omega_2 についても同様です．

また，波面に垂直なベクトル (a,b) を (c,d) に原点を中心に回転して 方向を重ねる時， 反時計回りに回った方が早い場合， ad-bc>0 であり， 時計回りに回った方が早い場合， ad-bc<0 です． なお，この ad-bc とはベクトル (a,b) と (c,d) から作られる平行四辺形の面積の事です．

今回ここで示した定理は不思議な事だと思うのです． 直交した２方向のフーリエ変換と斜交した２方向のフーリエ変換は 波数空間では少し違ったものになりますが， もう一度フーリエ逆変換を施すと，定数倍の差こそあれ， 元の関数に戻ってくるのです．最初に試みた時は， 複雑な計算になってしまうだろうと思っていましたが， 実際やってみると，すごく簡単でした．

ここで示せたことを簡単に言葉で解釈するなら， 今までの二次元フーリエ変換では，二次元の関数を e^{i \omega_1 x},e^{i \omega_2 y} の基本的な波(基底)に分解していましたが，実は， x,y の様には直交していない基本的な波(基底) e^{i(ax+by)\omega_1},e^{i(cx+dy)\omega_2} でも，定数倍の差こそあれ，きちんと表現できるという事です．

今日はこの辺で，お疲れ様でした．