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ベクトル場から積分曲線を求める方法

この記事では，拙記事 微分幾何学における流れの具体例 を書いた時点では不明だった 積分曲線を求める方法を書きます．

前記事における例５

X = \dfrac{\partial}{\partial x_0} + x_0 \dfrac{\partial}{\partial y_0} \tag{1}

から

\sigma=\begin{pmatrix}x_0 + t \\x_0t +\dfrac{t^2}{2} + y_0\end{pmatrix} \tag{2}

を求めたい訳です． 結論から言うと，地道に連立微分方程式を解くことで解は得られます． どの本にも載っていない気がしたのですが，ふたを開けてみればそういうことでした．

早速やってみましょう．

積分曲線 \sigma^\mu を次の様に置きます．

\sigma(t) = x_0\begin{pmatrix}f_{x1}(t) \\f_{x2}(t)\end{pmatrix}+y_0\begin{pmatrix}f_{y1}(t) \\f_{y2}(t)\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}f_{c1}(t) \\f_{c2}(t)\end{pmatrix}\tag{3}

そして，この初期条件は

\sigma(0) = \begin{pmatrix}x_0 \\y_0\end{pmatrix}\tag{4}

となります． すると，ベクトル場を計算すると， \sigma(t) に X を作用させればよく，

X(\sigma(t)) = \begin{pmatrix}f_{x1}(t) \\f_{x2}(t)\end{pmatrix}+x_0\begin{pmatrix}f_{y1}(t) \\f_{y2}(t)\end{pmatrix}\tag{5}

です．積分曲線とは，

\dfrac{d \sigma}{dt} = X(\sigma)\tag{6}

を満たす曲線の事なので， \dfrac{d \sigma}{dt} を計算すると，

\dfrac{d \sigma}{dt}(t) = x_0\begin{pmatrix}f^\prime_{x1}(t) \\f^\prime_{x2}(t)\end{pmatrix}+y_0\begin{pmatrix}f^\prime_{y1}(t) \\f^\prime_{y2}(t)\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}f^\prime_{c1}(t) \\f^\prime_{c2}(t)\end{pmatrix}\tag{7}

式 (6) の両辺を比較すると，

&x_0\begin{pmatrix}f^\prime_{x1}(t) \\f^\prime_{x2}(t)\end{pmatrix}= x_0\begin{pmatrix}f_{y1}(t) \\f_{y2}(t)\end{pmatrix} \\&y_0\begin{pmatrix}f^\prime_{y1}(t) \\f^\prime_{y2}(t)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\0\end{pmatrix} \\&\begin{pmatrix}f^\prime_{c1}(t) \\f^\prime_{c2}(t)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}f_{x1}(t) \\f_{x2}(t)\end{pmatrix}\tag{8}

まず， \sigma の x 成分から求めましょう．上段の事です．

f^\prime_{x1} &= f_{y1} \\f^\prime_{y1} &= 0 \\f^\prime_{c1} &= f_{x1} \\f_{x1}(t=0) &= 1 \\f_{y1}(t=0) &= 0 \\f_{c1}(t=0) &= 0\tag{9}

まず，二番目の式から，

f_{y1} = 0\tag{10}

一番目から，

f_{x1} = 1\tag{11}

最後に，

f_{c1} = t\tag{12}

次に下段です．

f^\prime_{x2} &= f_{y2} \\f^\prime_{y2} &= 0 \\f^\prime_{c2} &= f_{x2} \\f_{x2}(t=0) &= 0 \\f_{y2}(t=0) &= 1 \\f_{c2}(t=0) &= 0\tag{13}

同様に解くと，

f_{y2} = 1 \\f_{x2} = t \\f_{c2} = t^2/2\tag{14}

よって，素材が揃ったので \sigma を求めると，

\sigma&=x_0\begin{pmatrix}1 \\t\end{pmatrix}+y_0\begin{pmatrix}0 \\1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}t \\t^2/2\end{pmatrix}&=\begin{pmatrix}x_0 + t \\x_0t +\dfrac{t^2}{2} + y_0\end{pmatrix}\tag{15}

となり，無事求められました． 今日はここまで．お疲れさまでした！