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像と逆像による保存と劣化

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この記事では，写像 $f:A \to B$ がある時， A,B のそれぞれの部分集合を P,Q として，像と逆像 $f^{-1}$ の

$f^{-1}(f(P)) \supseteq P \tag{1} \\f(f^{-1}(Q)) \subseteq Q \tag{2}$

と言う性質を全射と単射を関連させて，調べます．参考文献は，松坂和夫先生の集合・位相入門です．これは数学の証明の手法がどんなものなのかの一角をよく見て取れる話だと思います．

像と逆像

写像の定義は，集合の元に作用させると，集合の元に変わる対応のことを言います．この時， f(a) はただ一つの元に対応します．行き先が無いものや，複数の要素に変わるものがが一つでもあったら，それは写像ではなく，対応と言います．

像の定義は，の部分集合とし，の全ての元の写像先を集めてできた集合の事です．引数が一つの元とは限らず，集合を取るところが写像と違います．

$f(P) = \{f(a)| a \in P \} \tag{3}$

逆像 $f^{-1}$ の定義は，の部分集合について，の中に行き先があるようなの中の元全ての集合です．

$f^{-1}(Q) = \{ a | f(a) \in Q \} \tag{4}$

となります．

全射と単射

全射とはの像がに一致することを言います．つまり，写像の行き先のどの要素をとっても，写像元のが少なくとも１つは存在することになります．式で書くと

$f(A) = B \tag{5}$

となります．

単射とは任意のの異なる元と $a^\prime$ に対し，行き先が一致することは無いと言う事です．

$a \neq a^\prime \Rightarrow f(a) \neq f(a^\prime) \tag{6}$

同じことを言いかえると，

$f(a) = f(a^\prime) \Rightarrow a = a^\prime \tag{7}$

とも書けます．

式(1)と単射

まず，式 (1) を示しましょう．つまり，

theorem

$f^{-1}(f(P)) \supseteq P$

を示します．

【大まかな流れ】

ここでは， $a \in P$ を見たすは必ず $a \in f^{-1}(f(P))$ を満たすことを示します．

【証明】

まず，をの任意の元とし $a \in P$ とします．すると，は写像なので唯一の行き先があり， f(a) = b で， $\{ a \} \subseteq f^{-1}(\{ b \})$ となるようなの元であり f(P) の元でもあるが存在します． $b \in f(P)$ より， $f^{-1}( \{ b \} ) \subseteq f^{-1}(f(P))$ が成立します．よって， $f^{-1}(f(P)) \supseteq f^{-1}(\{ b \}) \supseteq \{ a \}$ より， $f^{-1}(f(P)) \ni a$ ．つまり， $f^{-1}(f(P)) \supseteq P$ が言えました．■

さて，これだけでは $f^{-1}(f(P))$ がと同じ集合なのか，それともより真に小さい集合 $\supsetneq$ なのか区別がつきません．それを区別できるのが，が単射かどうかなのです．

theorem

写像が単射 $\Rightarrow$ $f^{-1}(f(P)) = P$

【証明】

「任意の $a,a^\prime$ に対し $f(a) = f(a^\prime) \Rightarrow a = a^\prime$ 」ならば，「任意のに対し $f^{-1}(f(a)) = \{ a \}$ 」となり，つまり， $f^{-1} \circ f$ は恒等写像です．■

theorem

写像が単射でない $\Rightarrow$ $f^{-1}(f(P)) \supsetneq P$

【証明の前に】

「単射である」は「任意の $a,a^\prime$ に対して $a \neq a^\prime \Rightarrow f(a) \neq f(a^\prime)$ 」でした．この否定は何でしょうか？ここで「 $p \Rightarrow q$ 」とすると，下の表よりその否定は，

$\begin{array}{cc|c|c} p & q & p \Rightarrow q & p \wedge \bar{q} \\ \hline T & T & T & F \\ T & F & F & T \\ F & T & T & F \\ F & F & T & F \end{array}$

「 $p \wedge \bar{q}$ 」つまり，

「ある $a,a^\prime$ に対して $a \neq a^\prime$ かつ $f(a) = f(a^\prime)$ 」です．

【証明】

「写像が単射でない」

　 $\Rightarrow$

「ある $a,a^\prime$ に対して $a \neq a^\prime$ かつ $f(a) = f(a^\prime)$ 」

　 $\Rightarrow$

「 $P = \{ a \}$ と置くと $f(a)= f(a^\prime)$ となる $a^\prime$ が存在し， $f^{-1}(f(P)) \supseteq \{ a, a^\prime \}$ よって， $f^{-1}(f(P)) \ni a^\prime$ かつ $a^\prime \notin P$ 」

　 $\Rightarrow$

「 $f^{-1}(f(P)) \supseteq \{ a,a^\prime \} \supsetneq P$ 」

　 $\Rightarrow$

「 $f^{-1}(f(P)) \supsetneq P$ 」■

ここまでの話は「 $f^{-1}(f(P)) \supseteq P$ 」と言う定理の下で，

　単射である

　 $q: \ f^{-1}(f(P)) = P$

とすれば，

「 $p \Rightarrow q$ 」かつ「 $\bar{p} \Rightarrow \bar{q}$ 」が言えました．これは「 $p \Leftrightarrow q$ 」と同値です．

つまり，「が単射であること」 $\Leftrightarrow$ 「 $f^{-1}(f(P)) = P$ 」となり，右辺は集合が劣化しないと言い換えて良いでしょう．これが単射の持つ性質です．

式(2)と全射

式 (2) に対しても話は並行に進みます．

theorem

$f(f^{-1}(Q)) \subseteq Q$

を示します．

【証明】

まず $f(f^{-1}(Q)) \ni b$ とすると， f(a) = b で， $\{ a \} \subseteq f^{-1}(\{ b \})$ を満たす $f^{-1}(Q)$ の元があります． f(a)(=b) を作るとに入ります．すなわち， $b \in Q$ が言え，結論として， $f(f^{-1}(Q)) \subseteq Q$ が言えました．■

ここで，この定理には全射が関わってきます．見てみましょう．

theorem

写像が(部分集合に対しての)全射である $\Rightarrow$ $f(f^{-1}(Q)) = Q$

を示します．

【証明】

(部分集合に対しての)と注が入りましたが，これはの中のどの元も写像元として $a \in P$ を持つことが保証されていると言う事です．まず $Q=\{ b \}$ とし $f^{-1}(Q) \supseteq \{ a \} (= P)$ かつ f(P)=Q を満たすが少なくとも１つ存在します．すると， $f(f^{-1}(Q)) \supseteq f(P)= Q$ となります．ここで先ほど $f(f^{-1}(Q)) \subseteq Q$ も言えましたから，晴れてめでたく $f(f^{-1}(Q)) = Q$ が言えました．■

次に進みましょう．

theorem

写像が(部分集合に対しての)全射でない $\Rightarrow$ $f(f^{-1}(Q)) \subsetneq Q$

を示します．

【証明】

まず全射でないなら $Q=\{ b \}$ かつ $f^{-1}(b) = \phi$ となるが存在します．すると， $f(\phi)= \phi$ より， $f(f^{-1}(Q)) = f(\phi) = \phi \subsetneq Q$ が言えます．今示すべきことは，「 $b \notin f(f^{-1}(Q))$ かつ $b \in Q$ なるが存在すること」ですから，示せたことになります．■

これらも，「が(部分集合に対しての)全射であること」 $\Leftrightarrow$ 「 $f(f^{-1}(Q)) = Q$ 」が言えます．これも右辺は集合が劣化しないと言い換えて良いでしょう．これが全射の持つ性質です．

まとめ

直上の(部分集合に対しての全射)と言う部分が気になりますが，「式 (1) と単射」のセクションに対しても，(部分集合に対しての単射)と言う注を入れることができると分かります．つまり，下図で「 $f(P^\prime)=Q^\prime$ の範囲だけ見ると単射になっている（ $Q^\prime$ の外では単射になっていなくても良い）」と言う事です． $f^{-1}(f(P^\prime))=P^\prime$ となるのが分かるのではないでしょうか．

僕は最初，像と逆像の組み合わせがどんな時に恒等写像になって，そうでない時はどういう時かを調べてこの結論に達したのですが，とてもきれいな構造が見られて嬉しかったです．今日はここまで，お疲れさまでした！

参考文献

松坂和夫著，『集合・位相入門』（岩波書店，1968，p30-p34）

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