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留数定理の積分路が原点を囲む囲まないかの違いについて

この記事では，R,r,t を実数とした時， \Gamma : z=Re^{it} + r \ (t: 0 \to 2\pi) とした時の \int_\Gamma \dfrac{dz}{z} を考えます．工学的な記述であって，あまり数学的厳密性はありません．

chromel-exOfComplexIntegral-01.png

計算の実行

上に述べたとおりの条件で，積分を行います． dz = i Re^{it} dt より，

\int_\Gamma \dfrac{dz}{z} &= \int_{t=0}^{2 \pi} \dfrac{iRe^{it}}{Re^{it} + r} dt \\&= \left[ \rm{log}|Re^{it} + r| \right]_{t=0}^{2 \pi} \\&= \left[ \rm{Log}|Re^{it} + r| + i \phi \right]_{t=0}^{2 \pi} \tag{1}

ここで，実部は R と r の値に関わらず，

\left[ \rm{Log}|Re^{it} + r| \right]_{t=0}^{2 \pi} = 0 \tag{2}

です． \rm{Log} は引数に実数を取り普通の実関数の \log と同じ値を返します． これを「対数の主値」と言います．一方， \rm{log} の虚部 \phi は，

\phi &= \arg(z) \\&= \tan^{-1} \left( \dfrac{R \sin t}{R \cos t + r} \right)\tag{3}

となります．

R<rの時

これは，原点から見て t が 0 \to 2\pi まで動くとき， \phi は 0 \to 0 を動きます． 積分路が原点を囲わない為， \rm{log} のリーマン面の分枝を跨がない為です．

よって，

\int_\Gamma \dfrac{dz}{z} = 0 \tag{4}

となります．

R>rの時

この時は，注意が必要です． なぜならば， R \cos t + r がゼロになる t が二つあるからです．これに対応する t を t_1,t_2 \ (t_1 < t_2) とします．ここで小さな正の実数 \varepsilon (>0) を用意します． t_1,t_2 を除いて t: 0 \to t_1 - \varepsilon, t_1 + \varepsilon \to t_2 - \varepsilon, \ t_2 + \varepsilon \to 2 \pi とすればよいようです．この時， \phi: 0 \to \dfrac{\pi}{2}, \ -\dfrac{\pi}{2} \to \dfrac{\pi}{2},- \dfrac{\pi}{2} \to 0 と動きますから，その後で \varepsilon \to 0 とすればよく，

&\left[ i \phi \right]_{t=0}^{t_1 - \varepsilon} + \left[ i \phi \right]_{t=t_1 + \varepsilon}^{t_2 - \varepsilon} + \left[ i \phi \right]_{t=t_2 + \varepsilon}^{2 \pi} \\&\to i(\dfrac{\pi}{2}-0)+i(\dfrac{\pi}{2}-(-\dfrac{\pi}{2}))+i(0-(-\dfrac{\pi}{2})) \\&= 2 \pi i \tag{5}

となります．

R=rの時

この場合は，

\phi &= \tan^{-1} \left( \dfrac{\sin t}{\cos t + 1} \right) \\&= \tan^{-1} \left( \dfrac{\sin t(1- \cos t)}{(\cos t + 1)(1- \cos t)} \right) \\&= \tan^{-1} \left( \dfrac{1- \cos t}{\sin t} \right) \tag{6}

となります．ここで t:0 \to \pi - \varepsilon,\pi + \varepsilon \to 2 \pi の時， \phi: 0 \to \dfrac{\pi}{2}, \ -\dfrac{\pi}{2} \to 0 となるので，

&\left[ i \phi \right]_{t=0}^{\pi - \varepsilon} + \left[ i \phi \right]_{t=\pi + \varepsilon}^{2 \pi} \\&\to i(\dfrac{\pi}{2}-0)+i(0-(-\dfrac{\pi}{2})) \\&= \pi i \tag{7}

となります．

まとめ

　 \Gamma: z = R e^{it} + r \ (t:0 \to 2 \pi) の時，

\int_{\Gamma} \dfrac{dz}{z} &= \begin{cases}0 \ (R<r) \\\pi i \ (R=r) \\2 \pi i \ (R>r) \\\end{cases}

となります．

今日はここまで，お疲れさまでした．