この記事は現在、プロジェクトメンバーによる査読中のものです。草稿段階ですので、内容・表現の正確さについて責任を負いかねます。 リンクを正しく張れていないところが存在しますのでご注意ください。 正式公開まで、いましばらくお待ちください。
三角形の五心

任意の三角形に対し,内心( incentre ),外心( circumcentre ),垂心( orthocentre ),重心( barycentre ),傍心( excentre )と呼ばれる点を定めることが出来ます.これらをまとめて, 三角形の五心 と呼びます.

内心とは内接円の中心,外心とは外接円の中心,重心とは三つの中線の交点,垂心とは頂点からの垂線の交点,傍心とは傍接円(外側に伸ばした二辺と残りの一辺に内接する円)の中心のことです.図で見た方が分かりやすいでしょう.傍心だけは三つあります.

Joh-FiveCentres01.gif

次のセクションでは,複素数を使って,三角形の五心を表現してみます.この結果は,今後,色々な図形問題に応用できると思います.

三角形の五心

三角形の頂点を,複素平面上で複素数 \alpha , \beta  , \gamma で表わすことにします.途中で出て来る直線の方程式,二直線の直交条件などは 複素数と図形2 を参考にして下さい.少し変則的ですが,簡単な順に,重心から考えていくことにします.

重心

重心は, AB の中点に C から引いた直線 z = \gamma + t \left\{ \gamma - \frac{1}{2}(\alpha + \beta) \right\} = -\frac{t}{2}\alpha -\frac{t}{2}\beta +(1+t)\gamma と, BC の中点に A から引いた直線 z = \alpha + s \left\{ \alpha - \frac{1}{2}(\beta + \gamma) \right\} =(1+s)\alpha -\frac{s}{2}\beta -\frac{2}{2}\gamma の交点として表わせます.両式を連立すると, t=s=-\frac{2}{3} が決まり, z=\frac{1}{3}(\alpha + \beta + \gamma ) を得ます.

theorem

重心: z=\frac{1}{3}(\alpha + \beta + \gamma )

内心

内心は,頂角の二等分線の交点として求めることが出来ます.頂点 A の二等分線は z= \alpha + t \left( \frac{\gamma - \alpha}{|\gamma - \alpha|} +  \frac{\beta - \alpha}{|\beta - \alpha|} \right) と表現でき,頂点 B の二等分線は z= \beta + s \left( \frac{\gamma - \beta}{|\gamma - \beta|} +  \frac{\alpha - \beta}{|\alpha - \beta|} \right) と表現できます.これらを連立すると, t=\frac{|\alpha - \beta||\gamma - \alpha|}{|\beta - \gamma|+|\gamma - \alpha |+|\alpha  - \beta|}s=\frac{|\alpha - \beta||\beta - \gamma|}{|\beta - \gamma|+|\gamma - \alpha |+|\alpha  - \beta|} を得ます.これより, z= \frac{|\beta - \gamma |\alpha + |\gamma - \alpha |\beta + |\alpha - \beta| \gamma  }{|\beta - \gamma|+|\gamma - \alpha |+|\alpha  - \beta|} が求まります.

theorem

内心: z= \frac{|\beta - \gamma |\alpha + |\gamma - \alpha |\beta + |\alpha - \beta| \gamma  }{|\beta - \gamma|+|\gamma - \alpha |+|\alpha  - \beta|}

傍心

傍心は一見難しそうですが,外角の二等分線の交点として表わすことができます.少しだけ符号を変えるだけで,形式的には内心で使った式を再利用できます.角 B の外角の二等分線は z= \beta + t \left( \frac{\beta - \alpha}{|\gamma - \beta|} +  \frac{\alpha - \beta}{|\alpha - \beta|} \right) ,角 C の外角の二等分線は z= \gamma + s \left( \frac{\beta - \gamma}{|\gamma - \beta|} +  \frac{\gamma - \alpha}{|\alpha - \beta|} \right) と表わせますので(式の図形的意味をよく考えて下さい),これらを連立すると t=\frac{|\alpha - \beta||\beta - \gamma |}{- |\beta - \gamma|+|\gamma - \alpha |+|\alpha  - \beta|}s=\frac{|\beta - \gamma||\gamma - \alpha |}{-|\beta - \gamma|+|\gamma - \alpha |+|\alpha  - \beta|} を得ます.これより, z_{1}= \frac{-|\beta - \gamma |\alpha + |\gamma - \alpha |\beta + |\alpha - \beta| \gamma  }{-|\beta - \gamma|+|\gamma - \alpha |+|\alpha  - \beta|} が求まります.

同様にして,他の傍心二つも z_{2}= \frac{|\beta - \gamma |\alpha - |\gamma - \alpha |\beta + |\alpha - \beta| \gamma  }{|\beta - \gamma|-|\gamma - \alpha |+|\alpha  - \beta|} , z_{3}= \frac{|\beta - \gamma |\alpha + |\gamma - \alpha |\beta - |\alpha - \beta| \gamma  }{|\beta - \gamma|+|\gamma - \alpha |-|\alpha  - \beta|} のように決まります.

theorem

傍心:
z_{1}= \frac{-|\beta -\gamma |\alpha + |\gamma -\alpha |\beta + |\alpha -\beta| \gamma }{-|\beta -\gamma|+|\gamma -\alpha |+|\alpha  -\beta|}, \ \ \ z_{2}= \frac{|\beta -\gamma |\alpha - |\gamma -\alpha |\beta +|\alpha - \beta |\gamma }{|\beta - \gamma|-|\gamma - \alpha |+|\alpha  -\beta|} z_{3}= \frac{|\beta -\gamma |\alpha +|\gamma -\alpha |\beta - |\alpha - \beta| \gamma  }{|\beta - \gamma|+|\gamma - \alpha |-|\alpha  - \beta|}

内心の式によく似ていますが,どこかマイナスがつくんですね.

垂心

垂心を表わす複素数を h とすると, AH \perp BC より \frac{h - \alpha}{\gamma - \beta} + \frac{\bar{h} -\bar{ \alpha }}{\bar{\gamma }-\bar{ \beta }} = 0 が成り立つはずです.( 複素数と図形2 の式 (7) )同じく, BH \perp AC より \frac{h - \beta}{\gamma - \alpha} + \frac{\bar{h} -\bar{ \beta }}{\bar{\gamma }-\bar{ \alpha }} = 0 が成り立ちます.これを連立すると \bar{h} を消去すれば, h=\frac{(\gamma - \beta)(\gamma - \alpha + \beta)\bar{\alpha} + (\alpha - \gamma)(\alpha - \beta + \gamma)\bar{\beta}+(\beta - \alpha)(\beta - \gamma + \alpha)\bar{\gamma}}{(\bar{\beta} - \bar{\gamma})\alpha + (\bar{\gamma} - \bar{\alpha}) \beta + (\bar{\alpha }- \bar{\beta })\gamma} を得ます.

theorem

垂心: h=\frac{(\gamma - \beta)(\gamma - \alpha + \beta)\bar{\alpha} + (\alpha - \gamma)(\alpha - \beta + \gamma)\bar{\beta}+(\beta - \alpha)(\beta - \gamma + \alpha)\bar{\gamma}}{(\bar{\beta} - \bar{\gamma})\alpha + (\bar{\gamma} - \bar{\alpha}) \beta + (\bar{\alpha }- \bar{\beta })\gamma}

特に |\alpha|=|\beta|=|\gamma|=1 のとき, z = \alpha + \beta + \gamma という簡単な形に帰着します.(この結果は 九点円 で利用します.)

外心

外心は,各辺の垂直二等分線の交点として表わすことができます. AB の垂直二等分線の方程式は, |z-\alpha|^{2} = |z- \beta|^{2} \Longleftrightarrow (\bar{\alpha} - \bar{\beta})z + (\alpha - \beta)\bar{z} + |\beta|^{2} = |\alpha |^{2}=0 と表わすことができます.同様に, BC の垂直二等分線は (\bar{\beta} - \bar{\gamma})z + (\beta - \gamma)\bar{z} + |\gamma|^{2} = |\beta |^{2}=0 と書けて,両式を連立することで z=\frac{(\beta - \gamma)|\alpha |^{2}+(\gamma - \alpha )|\beta|^{2}+(\alpha - \beta )|\gamma|^{2}}{(\beta - \gamma)\bar{\alpha} + (\gamma - \alpha)\bar{\beta} + (\alpha - \beta)\bar{\gamma}} を得ます.

theorem

外心: z=\frac{(\beta - \gamma)|\alpha |^{2}+(\gamma - \alpha )|\beta|^{2}+(\alpha - \beta )|\gamma|^{2}}{(\beta - \gamma)\bar{\alpha} + (\gamma - \alpha)\bar{\beta} + (\alpha - \beta)\bar{\gamma}}

[*]三角形には他にも色々な特徴的な点があります.例えば,次の記事で紹介する 九点円の中心 も重要です. キンバリング ( \text{Clark Kimberling (1942-)} )は三角形にまつわる色々な点を精査し,それぞれにキンバリング番号と呼ばれる振り番をふって 3000 を越す『〇〇点』と呼ばれる点を分類しています.キンバリングの表記では,キンバリング番号を付して X_{n} の形で中心点が表わされます.例えば,内心は X_{1} ,外心は X_{3} と言った具合です.詳細は こちら をどうぞ.三角形の世界も奥深いですね.