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極座標とラグランジュの運動方程式

ここではラグランジュの運動方程式の有効性を見るために, 極座標で運動方程式を表すことを考えます.

デカルト座標による記述

あるポテンシャル U から力を受ける 3次元 (x,y,z) 空間での質点の運動を考えます.

ニュートンの運動方程式

まず,ニュートンの運動方程式ですが

m\ddot{x} &= -\frac{\partial U}{\partial x}, \\m\ddot{y} &= -\frac{\partial U}{\partial y}, \\m\ddot{z} &= -\frac{\partial U}{\partial z}

でした.

ラグランジュ方程式

ラグランジアン L

L = \frac{m}{2}\left(\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2\right) - U(x,y,z)

でした.

これをラグランジュの運動方程式 \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\right) -\frac{\partial L}{\partial x} = 0 に代入すると

m\ddot{x} &= -\frac{\partial U}{\partial x}, \\m\ddot{y} &= -\frac{\partial U}{\partial y}, \\m\ddot{z} &= -\frac{\partial U}{\partial z}

が求まるのでしたね.

極座標による運動方程式

ここでデカルト座標 (x,y,z) ではなくて極座標 (r,\theta,\varphi) による記述を考えてみましょう.

ニュートンの運動方程式

デカルト座標と極座標の関係式は

x &= r\sin\theta \cos\varphi \\y &= r\sin\theta \sin\varphi \\z &= r\cos\theta

で与えられているので \dot{x},\dot{y},\dot{z}

\dot{x} &= \dot{r}\sin\theta \cos\varphi+r\cos\theta\dot{\theta}\cos\varphi-r\sin\theta \sin\varphi\dot{\varphi} \\\dot{y} &= \dot{r}\sin\theta \sin\varphi+r\cos\theta\dot{\theta}\sin\varphi+r\sin\theta \cos\varphi\dot{\varphi} \\\dot{z} &= \dot{r}\cos\theta-r\sin\theta\dot{\theta}

になります.さらに \ddot{x},\ddot{y},\ddot{z}

\ddot{x} =& \ddot{r}\sin\theta \cos\varphi+\dot{r}\cos\theta\dot{\theta}\cos\varphi-\dot{r}\sin\theta \sin\varphi\dot{\varphi} \\          &+\dot{r}\cos\theta\dot{\theta}\cos\varphi-r\sin\theta\dot{\theta}^2\cos\varphi+r\cos\theta\ddot{\theta}\cos\varphi-r\cos\theta\dot{\theta}\sin\varphi\dot{\varphi} \\          &-\dot{r}\sin\theta \sin\varphi\dot{\varphi}-r\cos\theta\dot{\theta}\sin\varphi\dot{\varphi}-r\sin\theta \cos\varphi\dot{\varphi}^2-r\sin\theta \sin\varphi\ddot{\varphi}
\ddot{y} =& \ddot{r}\sin\theta \sin\varphi+\dot{r}\cos\theta\dot{\theta}\sin\varphi+\dot{r}\sin\theta \cos\varphi\dot{\varphi} \\          &+\dot{r}\cos\theta\dot{\theta}\sin\varphi-r\sin\theta\dot{\theta}^2\sin\varphi+r\cos\theta\ddot{\theta}\sin\varphi+r\cos\theta\dot{\theta}\cos\varphi\dot{\varphi} \\          &+\dot{r}\sin\theta \cos\varphi\dot{\varphi}+r\cos\theta\dot{\theta}\cos\varphi\dot{\varphi}-r\sin\theta \sin\varphi\dot{\varphi}^2+r\sin\theta \cos\varphi\ddot{\varphi}
\ddot{z} =& \ddot{r}\cos\theta-\dot{r}\sin\theta\dot{\theta} \\          &-\dot{r}\sin\theta\dot{\theta}-r\cos\theta\dot{\theta}^2-r\sin\theta\ddot{\theta}

以上で左辺の変形がわかりました.大変ですね(汗)

次に右辺ですが x,y,z による偏微分は

チェインルールを用いると

\frac{\partial}{\partial x} &= \frac{\partial r}{\partial x}\frac{\partial}{\partial r} + \frac{\partial\theta}{\partial x}\frac{\partial}{\partial \theta} + \frac{\partial \varphi}{\partial x}\frac{\partial}{\partial \varphi} \\\frac{\partial}{\partial y} &= \frac{\partial r}{\partial y}\frac{\partial}{\partial r} + \frac{\partial\theta}{\partial y}\frac{\partial}{\partial \theta} + \frac{\partial \varphi}{\partial y}\frac{\partial}{\partial \varphi} \\\frac{\partial}{\partial z} &= \frac{\partial r}{\partial z}\frac{\partial}{\partial r} + \frac{\partial\theta}{\partial z}\frac{\partial}{\partial \theta} + \frac{\partial \varphi}{\partial z}\frac{\partial}{\partial \varphi}

とあらわすことが出来ます. これを計算することは \frac{\partial \varphi}{\partial x} などが複雑なため少し大変です.

ここではもう少し簡単に求める方法を紹介します.

上式を行列の形にすると

\begin{pmatrix}     \frac{\partial}{\partial x} \\     \frac{\partial}{\partial y} \\     \frac{\partial}{\partial z}  \end{pmatrix} =  \begin{pmatrix}     \frac{\partial r}{\partial x} & \frac{\partial\theta}{\partial x} & \frac{\partial \varphi}{\partial x} \\     \frac{\partial r}{\partial y} & \frac{\partial\theta}{\partial y} & \frac{\partial \varphi}{\partial y} \\     \frac{\partial r}{\partial z} & \frac{\partial\theta}{\partial z} & \frac{\partial \varphi}{\partial z}  \end{pmatrix}  \begin{pmatrix}     \frac{\partial}{\partial r} \\     \frac{\partial}{\partial \theta} \\     \frac{\partial}{\partial \varphi}  \end{pmatrix}

となります.これを求めるには,

\begin{pmatrix}     \frac{\partial}{\partial r} \\     \frac{\partial}{\partial \theta} \\     \frac{\partial}{\partial \varphi}  \end{pmatrix} =  \begin{pmatrix}     \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial z}{\partial r} \\     \frac{\partial x}{\partial \theta} & \frac{\partial y}{\partial \theta} & \frac{\partial z}{\partial \theta} \\     \frac{\partial x}{\partial \varphi} & \frac{\partial y}{\partial \varphi} & \frac{\partial z}{\partial \varphi}  \end{pmatrix}  \begin{pmatrix}     \frac{\partial}{\partial x} \\     \frac{\partial}{\partial y} \\     \frac{\partial}{\partial z}  \end{pmatrix}

を計算し逆行列を求めれば良いことがわかります.この行列の式は

\frac{\partial}{\partial r} &= \frac{\partial x}{\partial r}\frac{\partial}{\partial x} + \frac{\partial y}{\partial r}\frac{\partial}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial r}\frac{\partial}{\partial z} \\\frac{\partial}{\partial \theta} &= \frac{\partial x}{\partial \theta}\frac{\partial}{\partial x} + \frac{\partial y}{\partial \theta}\frac{\partial}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial \theta}\frac{\partial}{\partial z} \\\frac{\partial}{\partial \varphi} &= \frac{\partial x}{\partial \varphi}\frac{\partial}{\partial x} + \frac{\partial y}{\partial \varphi}\frac{\partial}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial \varphi}\frac{\partial}{\partial z}

のことなので,こちらは簡単に計算できます.

座標変換の関係式より

\frac{\partial}{\partial r} &= \sin\theta \cos\varphi \frac{\partial}{\partial x} + \sin\theta \sin\varphi \frac{\partial}{\partial y} + \cos\theta \frac{\partial}{\partial z} \\\frac{\partial}{\partial \theta} &= r\cos\theta \cos\varphi \frac{\partial}{\partial x} + r\cos\theta \sin\varphi \frac{\partial}{\partial y} - r\sin\theta \frac{\partial}{\partial z} \\\frac{\partial}{\partial \varphi} &= -r\sin\theta \sin\varphi \frac{\partial}{\partial x} + r\sin\theta \cos\varphi \frac{\partial}{\partial y}

なので,行列の式に直すと

\begin{pmatrix}     \frac{\partial}{\partial r} \\     \frac{\partial}{\partial \theta} \\     \frac{\partial}{\partial \varphi}  \end{pmatrix} =  \begin{pmatrix}     \sin\theta \cos\varphi & \sin\theta \sin\varphi & \cos\theta \\     r\cos\theta \cos\varphi & r\cos\theta \sin\varphi & -r\sin\theta \\     -r\sin\theta \sin\varphi & r\sin\theta \cos\varphi & 0  \end{pmatrix}  \begin{pmatrix}     \frac{\partial}{\partial x} \\     \frac{\partial}{\partial y} \\     \frac{\partial}{\partial z}  \end{pmatrix}

となります.逆行列を求め,計算すると

\begin{pmatrix}     \frac{\partial}{\partial r} \\     \frac{\partial}{\partial \theta} \\     \frac{\partial}{\partial \varphi}  \end{pmatrix} =  \begin{pmatrix}     \sin\theta \cos\varphi & \frac{1}{r}\cos\theta \cos\varphi & -\frac{1}{r\sin\theta}\sin\varphi \\     \sin\theta \sin\varphi & \frac{1}{r}\cos\theta \sin\varphi & \frac{1}{r\sin\theta}\cos\varphi \\     \cos\theta & -\frac{1}{r}\sin\theta & 0  \end{pmatrix}  \begin{pmatrix}     \frac{\partial}{\partial x} \\     \frac{\partial}{\partial y} \\     \frac{\partial}{\partial z}  \end{pmatrix}

となるので,偏微分の変換は

\frac{\partial}{\partial x} &= \sin\theta \cos\varphi\frac{\partial}{\partial r} + \frac{1}{r}\cos\theta \cos\varphi\frac{\partial}{\partial \theta} - \frac{1}{r\sin\theta}\sin\varphi\frac{\partial}{\partial\varphi} \\\frac{\partial}{\partial y} &= \sin\theta \sin\varphi\frac{\partial}{\partial r} + \frac{1}{r}\cos\theta \sin\varphi\frac{\partial}{\partial \theta} + \frac{1}{r\sin\theta}\cos\varphi\frac{\partial}{\partial\varphi} \\\frac{\partial}{\partial z} &= \cos\theta\frac{\partial}{\partial r} - \frac{1}{r}\sin\theta\frac{\partial}{\partial \theta}

のように与えられます.よって,ニュートンの運動方程式は

m\{ \ddot{r}&\sin\theta \cos\varphi+\dot{r}\cos\theta\dot{\theta}\cos\varphi-\dot{r}\sin\theta \sin\varphi\dot{\varphi} + \dot{r}\cos\theta\dot{\theta}\cos\varphi-r\sin\theta\dot{\theta}^2\cos\varphi+r\cos\theta\ddot{\theta}\cos\varphi-r\cos\theta\dot{\theta}\sin\varphi\dot{\varphi} \\          &-\dot{r}\sin\theta \sin\varphi\dot{\varphi}-r\cos\theta\dot{\theta}\sin\varphi\dot{\varphi}-r\sin\theta \cos\varphi\dot{\varphi}^2-r\sin\theta \sin\varphi\ddot{\varphi}\} \\          &= -\sin\theta \cos\varphi\frac{\partial U}{\partial r} - \frac{1}{r}\cos\theta \cos\varphi\frac{\partial U}{\partial \theta} + \frac{1}{r\sin\theta}\sin\varphi\frac{\partial U}{\partial\varphi} \tag{1}
m\{ \ddot{r}&\sin\theta \sin\varphi+\dot{r}\cos\theta\dot{\theta}\sin\varphi+\dot{r}\sin\theta \cos\varphi\dot{\varphi}+ \dot{r}\cos\theta\dot{\theta}\sin\varphi-r\sin\theta\dot{\theta}^2\sin\varphi+r\cos\theta\ddot{\theta}\sin\varphi+r\cos\theta\dot{\theta}\cos\varphi\dot{\varphi} \\          &+\dot{r}\sin\theta \cos\varphi\dot{\varphi}+r\cos\theta\dot{\theta}\cos\varphi\dot{\varphi}-r\sin\theta \sin\varphi\dot{\varphi}^2+r\sin\theta \cos\varphi\ddot{\varphi} \} \\          &= -\sin\theta \sin\varphi\frac{\partial U}{\partial r} - \frac{1}{r}\cos\theta \sin\varphi\frac{\partial U}{\partial \theta} - \frac{1}{r\sin\theta}\cos\varphi\frac{\partial U}{\partial\varphi} \tag{2}
m\{ \ddot{r}&\cos\theta-\dot{r}\sin\theta\dot{\theta} - \dot{r}\sin\theta\dot{\theta}-r\cos\theta\dot{\theta}^2-r\sin\theta\ddot{\theta} \} = -\cos\theta\frac{\partial U}{\partial r} + \frac{1}{r}\sin\theta\frac{\partial U}{\partial \theta} \tag{3}

となります.ここで式を見やすくするために式変形を行います.

まず(1)式× \sin\theta \cos\varphi + (2)式× \sin\theta \sin\varphi + (3)式× \cos\theta とすると,

m(\ddot{r}-r\dot{\theta}^2-r\sin^2\theta\dot{\varphi}^2) = -\frac{\partial U}{\partial r}

次に(1)式× \cos\theta \cos\varphi +(2)式× \cos\theta \sin\varphi +(3)式× -\sin\theta とすると,

m(r\ddot{\theta}+2\dot{r}\dot{\theta}-r\sin\theta \cos\theta \dot{\varphi}^2) = -\frac{1}{r}\frac{\partial U}{\partial \theta}

最後に(1)× -\sin\varphi +(2)式× \cos\varphi とすると,

m(r\sin\theta\ddot{\varphi}+2r\cos\theta\dot{\theta}\dot{\varphi}+2\dot{r}\sin\theta\dot{\varphi}) = -\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial U}{\partial \varphi}

となります.

このようにデカルト座標によって書かれた運動方程式を 極座標で表すと大変ですよね? そこで運動方程式を求めるのに有効なのが解析力学です. このことを以下で見ていきましょう.

ラグランジアン

デカルト座標ではラグランジアンは

L=T-U=\frac{m}{2}(\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2)-U(x,y,z)

でした.これを (r,\theta ,\varphi) を用いて書きかえることを考えます.

(d\vec{r})^2 &= (dx)^2+(dy)^2+(dz)^2 \\                          &= (dr)^2+r^2(d\theta)^2+r^2\sin^2\theta(d\varphi)^2

なので

T=\frac{m}{2}(\frac{d\vec{r}}{dt})^2=\frac{m}{2}\{\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2+r^2\sin^2\theta\dot{\varphi}^2 \}

となり,ラグランジアンは

L=\frac{m}{2}(\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2+r^2\sin^2\theta\dot{\varphi}^2) - U(r,\theta ,\varphi) \tag{4}

となります.

ラグランジュ方程式

ラグランジュ方程式は

\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{r}}\right) -\frac{\partial L}{\partial r} &= 0 \\\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}}\right) -\frac{\partial L}{\partial \theta} &= 0 \\\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{\varphi}}\right) -\frac{\partial L}{\partial \varphi} &= 0

だったのでこの式に式(4)を代入して運動方程式を書き下してみましょう.

r成分

まず r 成分は

\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{r}}\right) &= \frac{d}{dt}\frac{\partial}{\partial \dot{r}}\{\frac{m}{2}(\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2+r^2\sin^2\theta\dot{\varphi}^2) - U(r,\theta ,\varphi)\} \\             &= \frac{d}{dt}m\dot{r} \\             &= m\ddot{r} \\\frac{\partial L}{\partial r} &= \frac{\partial}{\partial x}\{\frac{m}{2}(\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2+r^2\sin^2\theta\dot{\varphi}^2) - U(r,\theta ,\varphi)\} \\             &= mr\dot{\theta}^2+mr\sin^2\theta\dot{\varphi}^2-\frac{\partial U}{\partial r}

より

\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{r}}\right) -\frac{\partial L}{\partial r} &= m\ddot{r}-mr\dot{\theta}^2-mr\sin^2\theta\dot{\varphi}^2+\frac{\partial U}{\partial r} \\                   &= 0

となります.

θ成分

次に \theta 成分は

\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}}\right) &= \frac{d}{dt}\frac{\partial}{\partial \dot{\theta}}\{\frac{m}{2}(\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2+r^2\sin^2\theta\dot{\varphi}^2) - U(r,\theta ,\varphi)\} \\             &= \frac{d}{dt}mr^2\dot{\theta} \\             &= 2mr\dot{r}\dot{\theta}+mr^2\ddot{\theta} \\\frac{\partial L}{\partial \theta} &= \frac{\partial}{\partial \theta}\{\frac{m}{2}(\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2+r^2\sin^2\theta\dot{\varphi}^2) - U(r,\theta ,\varphi)\} \\             &= mr^2\sin\theta \cos\theta\dot{\theta}^2 - \frac{\partial U}{\partial \theta}

より

\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}}\right) -\frac{\partial L}{\partial \theta} &= 2mr\dot{r}\dot{\theta}+mr^2\ddot{\theta}-mr^2\sin\theta \cos\theta\dot{\theta}^2 + \frac{\partial U}{\partial \theta} \\                   &= 0

となります.

φ成分

最後に \varphi 成分は

\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{\varphi}}\right) &= \frac{d}{dt}\frac{\partial}{\partial \dot{\varphi}}\{\frac{m}{2}(\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2+r^2\sin^2\theta\dot{\varphi}^2) - U(r,\theta ,\varphi)\} \\             &= \frac{d}{dt}mr^2\sin^2\theta \dot{\varphi} \\             &= 2mr\dot{r}\sin^2\theta \dot{\varphi}+2mr^2\sin\theta \cos\theta \dot{\theta}\dot{\varphi}+mr^2\sin^2\theta \ddot{\varphi} \\\frac{\partial L}{\partial \varphi} &= \frac{\partial}{\partial \varphi}\{\frac{m}{2}(\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2+r^2\sin^2\theta\dot{\varphi}^2) - U(r,\theta ,\varphi)\} \\             &= - \frac{\partial U}{\partial \varphi}

より

\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{\varphi}}\right) -\frac{\partial L}{\partial \varphi} &= 2mr\dot{r}\sin^2\theta \dot{\varphi}+2mr^2\sin\theta \cos\theta \dot{\theta}\dot{\varphi}+mr^2\sin^2\theta \ddot{\varphi} + \frac{\partial U}{\partial \varphi} \\                   &= 0

となります.

以上の式を整理すると

m(\ddot{r}-r\dot{\theta}^2-r\sin^2\theta\dot{\varphi}^2) &= -\frac{\partial U}{\partial r} \\m(r\ddot{\theta}+2\dot{r}\dot{\theta}-r\sin\theta \cos\theta \dot{\varphi}^2) &= -\frac{1}{r}\frac{\partial U}{\partial \theta} \\m(r\sin\theta\ddot{\varphi}+2r\cos\theta\dot{\theta}\dot{\varphi}+2\dot{r}\sin\theta\dot{\varphi}) &= -\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial U}{\partial \varphi}

となり,ニュートンの運動方程式が導出されました.

このようにラグランジアンを求め,それからラグランジュ方程式を計算した方が ニュートンの運動方程式を変数変換するよりも早くしかも簡単に 運動方程式を導出することが出来ます.