この記事では,シャノンのエントロピー ,つまり,
をカノニカル集団(正準集団)の基礎から導出します.
これはよく知られている公式を用います.つまり,
統計力学的定義に戻りますと,ヘルムホルツの自由エネルギー は,
もしくは,
です.ここで,次のボルツマン分布を確認しておきます. 縮退していてもよい,つまり, でも, であってよいのです. エネルギー準位 をとる確率 は, マクスウェル・ボルツマン分布により,
書き換えると,
となります. 式 より,
と書いておきます.ここで, は の依存性がないので,式 の様に書けるのがポイントです. なぜなら,
であるからです.
式 ,式 より,
ですね?
少し戻って,式 を書き直すと,
ですから,式 と式 より,
つまり,
が導けました.
こうしてシャノンエントロピーが導けました.
最初にこれを考えた,ボルツマンやギブスはとてもすごいと思います.
それでは,今日はこの辺で,お疲れさまでした.