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様々な写像

「写像」の記事では一般的な写像について説明しましたが,ここではいくつかの特徴的な写像を紹介します.「写像」を読んでいない方はまずそちらをお読み下さい.

全射

写像 f : A \to B を考え, a の像 f(a) の作る集合を C とします.ここで C=B であるとき,この写像を 全射 と呼びます.集合 B の任意の要素 b \in B に対応する a が存在するということです.

図にすると以下のイメージです.

nobu-function2-fig1.png

単射

写像 f : A \to B を考えます.写像 f が以下の条件

a_1 \neq a_2 \Longrightarrow f(a_1) \neq f(a_2)

を満たすとき,この写像を 単射 と呼びます. b \in B に対応する a \in A がただ一つであるためこの様に呼ばれます.

図にすると以下のイメージです.

nobu-function2-fig2.png

全単射

写像 f が全射かつ単射であるとき,この写像を 全単射 と呼びます.

集合 B の任意の要素 b \in B に対応する a が存在し,かつ対応する a がただ一つであるのだから,集合 A,B の要素がそれぞれ一対一に対応していることになります.そのため全単射のことを一対一対応とも呼びます.

図にすると以下のイメージです.

nobu-function2-fig3.png

逆像

集合の像

逆像を説明する前に予備知識として集合の像について説明します.

写像 f : A \to B を考えます. また,集合 A の部分集合 S \subset A を考えます. 集合 S に含まれる全て要素 a \in S の像 f(a) を考えるとこれは集合になります. 要するに \{ f(a_1),f(a_2),f(a_3) \dotsm \} という集合です. この集合を写像 f による S の像と呼び f(S) と表します. 数式で表現すると次のようになります.

f(S) = \{ f(a) | a \in S \}

これまでは f の引数として要素が入っていましたが,集合の像では引数が集合となっています. そのため集合の像は要素ではなく,集合を表しますので注意して下さい.

逆像

写像 f : A \to B を考えます. また B の部分集合 T \subset B を考えます. f(a) が集合 T の要素となる a の集合を Tf による 逆像 と呼び f^{-1}(T) と表します. 少しややこしいので,数式と図で頭を整理しましょう.

数式で表すと

f^{-1}(T) = \{a \in A | f(a) \in T \}

となり,図で表すと

nobu-function2-fig4.png

となります.

考えれば容易に分かりますが,逆像はその定義から以下の条件を満たします.

a \in f^{-1}(T) \Longleftrightarrow f(a) \in T

逆像も引数として集合が入っているため,要素ではなく集合を表しています.注意してください.

逆写像

全単射である写像 f : A \to B を考えます. 写像は全射かつ単射であるため,集合 B のどの要素 b を選んでも f(a) = b となる a が 存在し,かつ a はただ一つに決まります. この b \in B から a \in A への対応を 逆写像 と呼び f^{-1} : B \to A と表します. b に対応する af^{-1}(b) と書きます.

逆像と同様に

a = f^{-1}(b) \Longleftrightarrow f(a) = b

という関係を満たします.

逆写像は全単射の写像でないと定義できません. 単射の写像では b に対して一つの a が決まりますが,すべての ba は対応しないし, 全射の写像ではすべての ba が対応しますが, f(a) = b となる a がただ一つに決まらないからです. 両方合わさらないと写像の要請を満たさないということです.

恒等写像

空集合でない集合 A を考えます. a \in A に対して,同じ要素 a \in A を対応させる写像を A から A への 恒等写像 と呼び, I_A : A \to A と表します. また I_A(a) = a となります.

合成写像

写像 f : A \to B および g : B \to C を考えます. 写像 f により, a \in A は一つの B の要素 f(a) に対応します. さらに f(a) は写像 g によって一つの C の要素 g(f(a)) に対応します. よって二つの写像を合わせることによって, a \in A に対して一つの c \in C との対応を考えることができます. この A から C への写像を 合成写像 と呼び, g \circ f : A \to C と表します. g \circ f (a) = g(f(a)) となります.