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微分幾何学における流れの具体例

この記事では,リー微分を理解するのに必要な流れの具体例をいくつか見ます. 記法としては,中原幹夫先生の理論物理学のための幾何学とトポロジーIのものを採用します. 以下では二次元平面上の事を考え,ベクトル場を X^\mu で,積分曲線を \sigma^\mu とします.

すると,

\dfrac{d}{dt} \sigma^\mu = X^\mu(\sigma^1,\sigma^2) \tag{1}

を満たします.

例1

ベクトル場

X = -y \dfrac{\partial}{\partial x} + x \dfrac{\partial}{\partial y} \tag{2}

あるいは,同じことですが,

\begin{pmatrix}X^1 \\X^2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-y \\x\end{pmatrix} \tag{3}

に対して,積分曲線は

\sigma &= \begin{pmatrix}\sigma^1 \\\sigma^2\end{pmatrix} \\&=\begin{pmatrix}x \cos t - y \sin t \\x \sin t + y \cos t \end{pmatrix} \tag{4}

と書けます.

すると,

\dfrac{d}{dt}\sigma &=\begin{pmatrix} - x \sin t - y \cos t \\x \cos t - y \sin t \end{pmatrix} \tag{5}

であり,一方,

X(\sigma) &= \left( -y \dfrac{\partial}{\partial x} + x \dfrac{\partial}{\partial y} \right) \begin{pmatrix}x \cos t - y \sin t \\x \sin t + y \cos t \end{pmatrix} \\&=\begin{pmatrix}-y \cos t - x \sin t \\-y \sin t + x \cos t \end{pmatrix} \tag{6}

だから,

\dfrac{d}{dt}\sigma^\mu &= X^\mu (\sigma^1,\sigma^2) \tag{7}

が確かに成り立っています. 与えられた X^\mu に対する \sigma を求めるには,式 (7) を具体的に書いて,

\dfrac{d}{dt}\sigma^1 &= \left( -y \dfrac{\partial}{\partial x} + x \dfrac{\partial}{\partial y} \right)\sigma^1 \\ \dfrac{d}{dt}\sigma^2 &= \left( -y \dfrac{\partial}{\partial x} + x \dfrac{\partial}{\partial y} \right)\sigma^2 \tag{8}

で, \sigma^1 = x, \sigma^2=y つまり, \dfrac{\partial \sigma^1}{\partial x} = \dfrac{\partial \sigma^2}{\partial y} = 1 と, \dfrac{\partial \sigma^1}{\partial y} = \dfrac{\partial \sigma^2}{\partial x} = 0 に気が付けば簡単で,

\dfrac{d}{dt}\begin{pmatrix}x \\y\end{pmatrix}&=\begin{pmatrix}-y \\x\end{pmatrix} \\&=\begin{pmatrix}0 & -1 \\1 &  0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\y\end{pmatrix}\tag{9}

を解けば良いです. 積分曲線は,式 (4) から t を消去して,初期位置 (x,y) として,

(\sigma^1)^2 + (\sigma^2)^2 = x^2 + y^2 = const. \tag{10}

となります.つまり,積分曲線は同心円となります.

例2

例1と同様なので,要点だけ書きます.

X = y \dfrac{\partial}{\partial x} + x \dfrac{\partial}{\partial y} \tag{11} \sigma =\begin{pmatrix}x \cosh t + y \sinh t \\x \sinh t + y \cosh t \end{pmatrix} \tag{12} (\sigma^1)^2 - (\sigma^2)^2 = x^2 - y^2 = const. \tag{13}

これは双曲線です.

例3

X = x \dfrac{\partial}{\partial x} + y \dfrac{\partial}{\partial y} \tag{14} \sigma=\begin{pmatrix}x e^{t} \\y e^{t}\end{pmatrix} \tag{15} \sigma^2/\sigma^1 = y/x = const. \tag{16}

または,

\sigma^1 = 0 \tag{17}

これは原点を通る直線です.

例4

X = -x \dfrac{\partial}{\partial x} + y \dfrac{\partial}{\partial y} \tag{18} \sigma=\begin{pmatrix}x e^{-t} \\y e^{t}\end{pmatrix} \tag{19} \sigma^1\sigma^2 = xy = const. \tag{20}

これは双曲線です.

例5

X = \dfrac{\partial}{\partial x} + x \dfrac{\partial}{\partial y} \tag{21} \sigma=\begin{pmatrix}x + t \\xt +\dfrac{t^2}{2} - y\end{pmatrix} \tag{22} \sigma^2 - (1/2)(\sigma^1)^2 = y - (1/2)x^2 = const. \tag{23}

この例は今までのやり方と少し異なる工夫が必要です.

解くべき方程式は,

\dfrac{d}{dt}\begin{pmatrix}x \\y \\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 0 & 1 \\1 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\y \\1\end{pmatrix}

です.ここで,

N=\begin{pmatrix}0 & 0 & 1 \\1 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

と置きます. すると,解は

\begin{pmatrix}\sigma^1 \\\sigma^2 \\1\end{pmatrix}&= \exp \left(N t \right)\begin{pmatrix}x \\y \\1\end{pmatrix} \\&= \left(\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0 & 0 & 1 \\1 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix}t+\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 1 \\0 & 0 & 0 \end{pmatrix}t^2/2\right)\begin{pmatrix}x \\y \\1\end{pmatrix}

となります.ここで, N^k = O (k \geq 3) を用いました. これは放物線です.

この記事の内容を踏まえて,次回,リー微分について書こうと思います. 今日はここまで.お疲れさまでした.