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パスカルの定理とブリアンションの定理

この記事では,非調和比に関連する話題として,パスカルの定理とブリアンションの定理を紹介します.まず,先に補題として一つの定理を考えます.

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円周上に四定点 A,B,C,D を考え,円周上のそれ以外の点に点 P を取ります.点 P から,四点 A,B,C,D に引いた直線 a,b,c,d の非調和比は, P の位置によらず一定です.

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まず, 非調和比とパップスの定理 の記事中,パップスの定理の証明中で使った,非調和比の角度による表現 [\alpha ,\beta ,  \gamma  , \delta ] = \frac{AC\cdot DB }{AD \cdot CB} = \frac{\sin \angle AOC \sin \angle COB}{\sin \angle AOD \sin \angle DOB} を思い出しましょう.円周角一定の定理(次図)を使えば,定理の主張は明らかです.

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パスカルの定理

では,有名なパスカルの定理を考えてみましょう.

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【パスカルの定理】円に内接する六角形で,対辺がそれぞれ平行ではないものを考えます.このとき,対辺の延長線の交点は共線になります.

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A から K,C,D,R に引いた線束の非調和比を考えます.まず, BF が,直線 AK , AR 上なので,次式は自明です.

[K,C,D,R] &= A [K,C,D,R] \\& = A[B,C,D,F]      \tag{1}

一行目から二行目の変形は, A を射影点として パップスの定理 を使いました.ここに先ほどの補題を使うと, AEB,C,D,F と同じ円周上の点なので次式が言えます.

A[B,C,D,F] &= E [B,C,D,F] \\&= E[B,C,M,Q]      \tag{2}

(1)(2) より [K,C,D,R]=[B,C,M,Q] が言えますが, 非調和比とパップスの定理 ので紹介した系1を使うと,直線 KB , DM , RQ は共点であることが示されます.これで定理は示されました.■

[*]いまは練習のために非調和比とパップスの定理を使う証明を使いましたが,補助線を引いてメネラウスの定理だけで証明する方法もあります.やる気のある人は挑戦してみて下さい.

ブリアンションの定理

パスカルの定理によく似た定理で,ブリアンションと定理と呼ばれるものがあります.次の記事で紹介する 双対原理 を使うと,ブリアンションの定理はパスカルの定理の裏返しになっているだけということが分かるのですが,一応,ここでは普通に証明しておきます.先に,簡単な補題を一つ証明しておきます.非調和比を使う練習問題だと思ってください.

lemma

円に五角形を外接させます.このうちの四辺を固定すとき,残りの一辺をどう取っても,四辺の延長線との四交点の非調和比は一定になります.

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図の円に黒線で引いた接線が固定,赤線を任意取れる接線だとします.まず, \triangle CQR をから見ると,定理の円は傍接円になっていますので,直線 OQ\angle CQR の二等分線になっており,直線 OR\angle CRS の二等分線になっています. \triangle CQR\triangle OQR の内角と外角の関係より, \angle QCR + \angle CQR = \angle CRS\angle QOR + \angle OQR = \angle ORS であることも考えると,次式が言えます.

\angle QOR & = \angle ORS -\angle OQR   \\ &= \frac{1}{2}\angle CRS -\angle OQR   \\ &=  \frac{1}{2} \left( \angle QCR +\angle CQR \right) -\frac{1}{2}\angle CQR \\&=  \frac{1}{2}\angle QCR  \tag{3}

同様に,定理の円を \triangle APS の傍接円と見ると,全く同様に \angle POS =\frac{1}{2} \angle \angle SAP が言えます.また, \square ORDF の内角の和を考えると,二角が直角なので \angle EOF + \angle RSD = \pi が言えます.また, \angle EOF = 2\angle ROS なので \angle ROS = \frac{\pi}{2} - \frac{1}{2}\angle RSD が言えます.これより, \angle QOR, \angle POS, \angle ROS が全て固定された辺による角で一定なので,非調和比 [P,Q,R,S] も一定になります.■

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【ブリアンションの定理】円に外接する六角形で,相対する頂点を結ぶ三直線は,一点で交わります.

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非調和比に関して,まず次のような関係がなりたちます.

B[C,O,F,N] &= B[M,E,F,N] \\&= [M,E,F,N] \\&= [C,D,K,L] \tag{4}

二行目から三行目は,先ほどの補題を使っています.(円に AF,AB,BC,DE の四接線が引かれているとき( \square ABPQ が外接),五本目として EF を引いたとき出て来る非調和比が [M,E,F,N] ,五本目として CD を引いたとき出て来る非調和比が [C,D,K,L] です.なかなか気づきにくいですね.)

そこで, A,B を射影点として次式が言えます.

A[C,D,K,L] = B[C,O,F,N]        \tag{5}

このとき,直線 AB は射線として共通ですので, 非調和比とパップスの定理 で紹介した系3を使うと, C,O,F が共線だと言えます.これによって定理が証明されました.■

パスカルとブリアンション

パスカル( \text{Blaise Pascal (1623-1662)} )は,数学,哲学,物理学などに膨大な貢献をしたフランス近世の巨人です.パスカルの父のエチエンヌ・パスカル( \text{\'Etienne Pascal (1588-1651))} は有名な法律家であり,アマチュア数学家でもありました.当初,父パスカルは十五歳になるまでは子供に数学を勉強させないことに決め,数学の本を全て隠してしまったのですが,十二歳のパスカルが,三角形の内角の和は 180 度であることを自力で証明して見せたのに感心し,ユークリッドの原論を与えたということです.父パスカルは,数学者のメルセンヌ( \text{Marin Mersenne (1588-1648)} )の主宰するサークルに出入りしていましたが,そこにはデザルグ( \text{Girard Desargues (1591-1661)} ),ガッサンディ( \text{Pierre Gassendi (1592-1655)} ),ロベルヴァル( \text{Gilles Personne de Roberval (1602-1675)} )といった数学者や科学者が出入りしていました.父に連れられて会合に出ていたパスカルは,デザルグの射影幾何に魅了され,パスカルの定理は十六歳のときに会合で発表したものです.(定理をさらに拡張し,二次曲線上の六点を結んだ六角形に対して,やはり対辺の交点は共線であることを示しました.パスカルは円錐曲線論に非常に興味を持っていました.)

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小さいときから神童ぶりを発揮していたパスカル.

父パスカルがノルマンジー地方の徴税請負人に任命されたため,パスカル一家はパリから ルーアン に引っ越しましたが,そこでパスカルは 1640 年に円錐曲線に関する論文を書き,また,父の仕事を助けるために,機械仕掛けの計算機を作っています.パスカルの数学上の功績は,射影幾何,円錐曲線論,二項係数,確率論,サイクロイドなどがあり,デカルト( \text{Ren\'e Descartes (1596-1650))} とは,『真空は存在するか』について激論を交わしています.また,山の上では気圧が低くなることを確認し,気圧という考えを最初に導入したのもパスカルだと言われています.(ただし,パスカルは体が弱かったため,実際に山に登って計測したのは従兄弟だったそうです.)後半生のパスカルは,父の怪我や死,自分が馬車の事故で死にそうになったことなどを契機に,哲学や神学の研究に没頭しました.著書『 瞑想録(パンセ) 』は,『人間は考える葦である』などの言葉で非常に有名なものですが,他にもパスカルは後によく引用されるような 名言 を多く残しています.

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パスカルの作った計算機 "Pascaline" (パリ工芸博物館所蔵. {\rm 2006}{\rm Joh} 撮影)

ブリアンション( \text{Charles Julien Brianchon (1783-1864)} )はパスカルよりも百五十年近く後の人ですが,生い立ちについて詳しいことは分かっていません.しかし, 18 歳でパリのエコール・ポリテクニクに入り,モンジュ( \text{Gaspard Monge (1746-1818)} )のもとで幾何学を学び,主席で卒業したことは確かです.ブリアンションの定理もこの頃発表したものです.その後,数学者になるかと思われていましたが,当時,フランスはナポレオン戦争の真っ只中で,ブリアンションも砲兵中尉としてスペイン独立戦争(半島戦争)に従軍することになりました.ナポレオンはそれまで陸上戦では無敵を誇っており,ナポレオンの大陸封鎖令に反対するポルトガルを懲らしめるために起こしたこの戦争も,短期のうちに圧勝する予定でした.ところが,首都リスボンこそ早々と陥落したものの,イギリス・ポルトガル連合軍の反攻と,スペイン・ポルトガル民衆による史上初のゲリラ戦により,フランス軍は食糧や弾薬の補給もつき,局地的な戦闘では圧勝したものの,消耗戦に追い込まれました.スペインの地形が山がちであったため,ナポレオン軍の特徴である砲兵隊が動きづらく,逆にスペインのゲリラ戦法は有効で,ナポレオンは初の戦略的大敗北を味わうことになりました.フランス軍の主力は,長く伸びた補給線の守備につかざるを得ず,食糧不足,疾病,ポルトガル民兵の夜襲などで消耗し,ブリアンションも数年の従軍の後に健康を損なって除隊しました.その後,陸軍砲兵学校の教官となってから多少は射影幾何の研究もしたようで,ポンスレ \text{(Jean Victor Poncelet (1788-1867))} と共著で論文を発表したりもしていますが,特に目立った業績はありません.ポンスレはもっと悲惨な経験をしており,ナポレオンのロシア遠征に従軍して捕虜になり,ロシアの刑務所に拘留されています.

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史上初のゲリラ戦となった半島戦争では,フランス軍による悲惨な民衆虐殺も起こった.