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時間順序積の利用法

一言,時間順序積はとある方程式の便宜的略記法として使われます. その方程式とは,正方行列 X(t)A(t) として(ただし, X(0)=II は単位行列),

\dfrac{dX}{dt} = A(t)X(t) \tag{1}

と言うものです.この解は,時間順序積 \mathcal{T} を用いて,

X(t) = \mathcal{T} \exp(\int_{t_0}^t A(t) dt) \tag{2}

となるようです.ここで A(t) が時間依存しない時,

これは,

X(t) = \exp(At) \tag{3}

と言う,おなじみの(?)解に帰着します. なぜなら, AtAt 自身と交換しますから, 時間順序積が無くてもよくなるのです.

それでは,今日はこの辺で.お疲れさまでした.