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留数定理とは

この記事では，留数定理をかなり大雑把に，使い道まで解説します．

基本

留数定理は，複素線積分に関する定理です． もし，複素線積分が正則な領域を囲むなら， 積分値はゼロになります．これがコーシーの積分定理です．

ところが，囲む領域の中に正則でない点，例えば f(z)=\dfrac{1}{z-1} のように， 非正則点（これを特異点と言います）があると，一周しても積分値がゼロでないことがあります． だから，何なんだ．と思うでしょうが，これが非常に役に立ちます． 後で説明しますので，お楽しみに．

発想

次の積分を計算しましょう． n を -1 でない整数とします． C_R は原点を囲む半径 R の円です． z = R e^{i \theta} とすると， dz = i R e^{i \theta} d \theta で積分範囲は， \theta : 0 \to 2\pi です．

\int_{C_R} z^n dz &= \int_0^{2 \pi} \left( R^n e^{i n \theta} \right) i R e^{i \theta} d \theta \\&= i \int_0^{2 \pi} R^{n+1} e^{i (n+1) \theta} d \theta \\&= \left[ \dfrac{i}{i(n+1)} R^{n+1} e^{i (n+1) \theta} \right]_0^{2\pi} \\&= \dfrac{1}{(n+1)} R^{n+1} e^{i2 (n+1) \pi} - \dfrac{1}{(n+1)} R^{n+1} e^{0} \\&= 0\tag{1}

ですね．では，これ見よがしに -1 を除外しましたが，この時どうなるか． 次に示します．

\int_{C_R} z^n dz &= \int_0^{2 \pi} \left( R^{-1} e^{- i \theta} \right) i R e^{i \theta} d \theta \\&= i \int_0^{2 \pi} 1 d \theta \\&= i \left[ \theta \right]_0^{2\pi} \\&= 2 \pi i\tag{2}

これだけ残るのです．しかもこの積分は示しませんが，積分路がこの点 z=0 を囲ってさえいれば，いつでも 2 \pi i となります．

ローラン展開

ここで， f(z) をテイラー展開で f(z) = a_0 + \dfrac{a_1}{1!}(x-a) + \dfrac{a_2}{2!}(x-a)^2 + \cdots と展開できますよね． でも，これは 1/z の様な関数は展開できません．（この辺はどういう関数ならテイラー展開で良いかはよく知りません．）そこで，テイラー展開の拡張でローラン展開と言うものがあります．例えば，

f(z) = a_{-2} (z-a)^{-2} + a_{-1} (z-a)^{-1} + a_{0} + a_{1} (z-a)^{1} + a_{2} (z-a)^{2} + \cdots \tag{3}

があげられます．テイラー展開では n! で割っていましたが，ローラン展開ではしませんね．ここで冪数の最低次の数を極の次数といい，この場合は，2次の極と言います．大抵は 1次の極の計算を知っていれば対処できます．もし，この次数が無限なら，真性特異点と言います．では，この式 (3) を囲った複素線積分（積分路 C ）はどうなるでしょう． z-a = R e^{i \theta} とすれば，これも n=-1 の寄与のみが残り，

\int_{C} f(z) dz = 2 \pi i a_{-1} \tag{4}

となるのです．

いよいよ留数の登場

実は，式 (3) の a_{-1} はわざわざ積分しなくても求まります． 式 (3) に (z-a)^2 をかけてみましょう．

(z-a)^2 f(z) = a_{-2} + a_{-1} (z-a)^{1} + a_{0}(z-a)^2 + a_{1} (z-a)^{3} + a_{2} (z-a)^{4} + \cdots \tag{5}

さらに， z で微分してみましょう．

\dfrac{d}{dz} \left( (z-a)^2 f(z) \right)= a_{-1} + 2a_{0}(z-a) + 3a_{1} (z-a)^{2} + 4 a_{2} (z-a)^{3} + \cdots \tag{6}

そして， z=a を代入すると，

\left. \dfrac{d}{dz} \left( (z-a)^2 f(z) \right)\right|_{z=a}= a_{-1} \tag{7}

となります．この上式の左辺が留数と呼ばれるものです．

Res_{z=a} f(z) = \left. \dfrac{d}{dz} \left( (z-a)^2 f(z) \right)\right|_{z=a} \tag{8}

と書きます．

一次の極なら話はもっと簡単で，

f(z) = a_{-1} (z-a)^{-1} + a_0 + a_1 (z-a) + \cdots \tag{9}

なのですから，

Res_{z=a}f(z) = \left. (z-a) f(z) \right|_{z=a} \tag{10}

となります．どうです？積分がただの掛け算と代入だけで求まってしまいます．

式 (4) と比べて，

\int_{C} f(z) dz = 2 \pi i Res_{z=a} f(z) \tag{11}

が言えます．これは覚えるべき公式です． もし，他の極も囲った中にあるなら，

\int_{C} f(z) dz = 2 \pi i \sum_{i} Res_{z=a_i} f(z) \tag{12}

とすればよいです．これを留数定理と呼びます．

使い道

例えば，この積分値が分かるようになると，普通は不定積分が計算できないのに，実関数 x の積分 \int_{-\infty}^\infty f(x) dx などの定積分が分かるようになります．必ずしも実関数でなくてもよいです．

具体例を挙げてみます． a>0 として，

\int_{-\infty}^\infty \dfrac{dx}{x^2+a^2} \tag{13}

を計算します．それには積分路を図の様に取ります．

chromel-residueTheorem-01.png

この経路 C の反時計回り一周分の積分をします．

\int_{C} f(z) dz &= \int_{C} \dfrac{dz}{z^2+a^2} \\&= \int_{C_R} \dfrac{dz}{z^2+a^2} + \int_{-R}^R \dfrac{dx}{x^2+a^2} \tag{14}

ここで，円弧 C_R の積分は R \to \infty で消えてしまいます． この辺は詳しく書きません．（cf.フーリエ変換の応用にはジョルダンの補題が役に立ちます）残るのが，

\int_{-R}^{R} \dfrac{dx}{x^2+a^2} \tag{15}

ですね．この R \to \infty の極限を計算します． しかし，我々はこの積分一周の値を留数定理から知っているのです． 図に示した通り，極は z^2+a^2 = (z+ia)(z-ia) より， このかまぼこ型の領域には z=ia が含まれています．

\int_{C} \dfrac{dz}{z^2+a^2} &= 2 \pi i Res_{z = ia} f(z) \\&= 2 \pi i \left[ (z-ia)\dfrac{1}{(z-ia)(z+ia)} \right]_{z=ia} \\&= 2 \pi i \left[ \dfrac{1}{z+ia} \right]_{z=ia} \\&= 2 \pi i \dfrac{1}{2ia} \\&= \dfrac{\pi}{a}\tag{16}

これが言えたので，

\lim_{R \to \infty} \int_{C} f(z) dz &= \lim_{R \to \infty} \int_{C} \dfrac{dz}{z^2+a^2} \\&=\lim_{R \to \infty} \int_{C_R} \dfrac{dz}{z^2+a^2} + \lim_{R \to \infty} \int_{-R}^R \dfrac{dx}{x^2+a^2} \\&= 0 + \int_{-\infty}^\infty \dfrac{dx}{x^2+a^2} \\&= \dfrac{\pi}{a} \tag{17}

ややこしいですが，つまりは，

\int_{-\infty}^\infty \dfrac{dx}{x^2+a^2} = \dfrac{\pi}{a} \tag{18}

となります． この留数定理は，フーリエ変換やグリーン関数を求める際，強力な道具となります．

今日はここまで，お疲れさまでした．