この記事は現在、プロジェクトメンバーによる査読中のものです。草稿段階ですので、内容・表現の正確さについて責任を負いかねます。 リンクを正しく張れていないところが存在しますのでご注意ください。 正式公開まで、いましばらくお待ちください。
部分群

部分群という言葉は,ここまでにも何度も出てきました.直観的にも理解しやすい概念だとは思いますが,あまり正確に定義してはいませんでした.今後の議論に備えて,もう少し議論を掘り下げます.

ここまでは群の例を考えてきましたが,この辺りから群の性質に関する話が増えてきます.内容が抽象的すぎて分からないと感じたら,いつでも簡単な具体例に戻り,その話題を十分に消化するまで悩むことが大切です.先を急いではいけません.

部分群

ここまで,部分群という言葉をあまり正確に定義せずに使ってきましたが,今後,群を部分群に分けることが話題になりますので,まずは,もう少し丁寧に部分群の定義を与えるところから始めます.

G の部分集合 H が次の二つの条件を満たすとき, HG の部分群と呼びます.

  1. a,b \in H \ \Longrightarrow \ ab \in H  \  \  \  (1)
  2. a \in H \ \Longrightarrow \ a^{-1} \in H  \  \  \  (2)

まず,ここで行われている演算は, G の演算と同じですから,結合則がなりたつことは前提になっています.最初の条件は,演算が閉じていること,すなわち群の公理の一番目の条件です.二番目の条件は,逆演算が存在するという主張です.

あとは,単位元の存在が示せれば H も群だと言えるのですが, (1)b=a^{-1} と置けば, aa^{-1} = e \in H となって, (1)(2) から自動的に単位元の存在は保証されます.すなわち, 1.2. を満たすことが,部分群となるための条件です.

G の部分群のうち,最大のものは G 自身です.また,最小のものは単位元 e だけからなる群 \{ e\} です.この二つは 自明な部分群 と呼びます.どんな群にも,この二つの部分群だけは必ず存在するからです.これら以外の部分群を 真部分群 と呼びます.真部分群があるかないかは,群によります.

巡回部分群

G (どんな群でも構わない)の任意の元 a に対し, a を生成元とする巡回群 H が存在するならば, HG の部分群となります.これを 巡回部分群 と呼びます.

巡回部分群 H が,部分群の定義 (1)(2) を満たすことを確認してみましょう.まず, H には a の全ての冪乗が含まれているはずですので,次式がなりたちます.

a^{i}, a^{j} \in H \ \Longrightarrow \ a^{i+j}

また, a^{i} に対して a^{-i} も必ず H に含まれてますから,逆元が存在し, a^{i}a^{-i}=e より単位元も H に含まれます.

部分群のもう一つの定義

上で与えた部分群の定義は直感的に意味も分かりやすく,十分にシンプルなものですが,さらに二つの条件を一つにまとめてしまうことができます.

条件 (1)(2) より,次式が言えます.

a,b \in H \ \Longrightarrow \ a^{-1}, b \in H \  \Longrightarrow a^{-1}b \in H  \tag{3}

条件 (3) は条件 (1)(2) から導かれた必要条件です.しかし逆に a,b \in H \ \Longrightarrow \  a^{-1}b \in H が成り立つとすると, b=e と置くことで, a,e \in H \ \Longrightarrow \  a^{-1}e=a^{-1} \in H となり, 条件2.を導けます.

条件 (2) が示せると,ここから a,b \in H \ \Longrightarrow \  a^{-1},b \in H  \ \Longrightarrow \  (a^{-1})^{-1}b \in H \ \Longrightarrow \  ab \in H として,条件(1)も導けます.(単位元は, b=a とすれば, a,a \in H \ \Longrightarrow \  a^{-1}a=e \in H となり, H に含まれることが示せます.)

従って,条件 (3) は条件 (1)(2) の必要十分条件になっており, (1)(2) の代わりに (3) を部分群の定義にしても良いということになります.

[*]パッと見たところ,式 (3) は片一方にだけ {-1} が付いていたりして,これだけから群の公理を示せるというのが分かりにくい式形です.しかし,馴れるしかありません.

まとめ

ここまでの議論をまとめます.次の 1.4. は,部分群の定義としてどれも同値だということになります.

  1. HG の部分群である.
  2. a,b \in H  \  \Longrightarrow  \ ab \in H; \ \ e \in H; \ \ c \in H  \ \Longrightarrow \ c^{-1} \in H
  3. a,b \in H \ \Longrightarrow \ ab \in H, \ a^{-1} \in H
  4. a,b \in H \ \Longrightarrow \ a^{-1}b \in H

4番目の定義が,ぱっと見ただけでは分かりにくいかも知れませんが,一番簡潔な表現になっているため,今後よく出てくることと思います.これを機会に慣れておきましょう.

[†]加法群では x^{-1}=-x と書かれますので,4番目の定義は a,b \in H \ \Longrightarrow \ -a +b \in H となります.こんな形にも慣れておくと良いです.

練習問題

四番目の定義を使って,次のことを確認してみましょう.

  1. 正の実数全体 R^{+} は,実数の乗法群 R-\{0 \} の部分群になります.
  2. 正則な n\times n 行列全体の作る群の中で, n \times n の直交行列全体の作る集合は部分群になります(直交行列とは転置行列 A^{t} が逆行列 A^{-1} になるような行列で, A^{t}A=AA^{t}=E を満たすものです.)

記号

H が群 G の部分群であることを,記号で H \subset G のように書きます.記号 \subset , \supset は集合同士の包含関係を示すときに使い, \in , \ni は元の帰属関係を示すのに使います.例えば, \alpha , \beta \in K と書けば, \alpha\beta が集合 K の元だという意味です.混乱しないように,記号に慣れていきましょう.

一つの定理

部分群になりたつ定理を一つだけ紹介しておきます.

Important

任意の部分群 H には H^{2}=H がなりたつ.

proof

証明は簡単です. e \in H より, H の元 h \in H に対して eh \in HH  \ \longrightarrow \ h \in H^{2} がなりたちます.これより H \subset H^{2} が導かれます.一方, H は群なので演算について閉じているので hh \in H のはずで,これより H^{2} \subset H が導かれます.二つの式より H=H^{2} が要請されます.■

[‡]二つの集合 A,B が等しいことを示すのに,ここでやったように A \subset BB \subset A を両方示し,ゆえに A=B と結論づけるのはよくやる証明のテクニックです.