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ヒルベルト変換とフーリエ変換

(書体に関するバグがありまして， \hat{f}(\omega) と \rm{\hat{f}(\omega)} は同じものです．) ヒルベルト変換 H とは，主値積分を P とした時，その関数 f への作用を,

H[f(t)] = \dfrac{1}{\pi} P \int_{-\infty}^{\infty} \dfrac{f(t^\prime)}{t-t^\prime}dt^\prime \tag{1}

というものです．これは符号関数

\ \rm{sgn}(\omega) = \begin{cases}1 \ \ \ (\omega > 0) \\0 \ \ \ (\omega = 0) \\-1 \ \ \ (\omega < 0)\end{cases}\tag{2}

と関数 \hat{f}(\omega) (f(t)のフーリエ変換)の積 -i \ \rm{sgn}(\omega) \hat{f}(\omega) のフーリエ逆変換から自然に出てきます．

この記事では，

\mathcal{F}^{-1}[-i \ \rm{sgn}(\omega) \hat{f}(\omega)] &= H[f(t)] \\\mathcal{F}\left[ H[f(t)] \right] &= -i \ \rm{sgn}(\omega) \hat{f}(\omega)

を示します．

結果がヒルベルト変換になる逆フーリエ変換

実際，逆フーリエ変換を施してみましょう．以下では t-t^\prime \neq 0 とします．（ t-t^\prime = 0 の時ω積分は発散します）

\mathcal{F}^{-1}[-i \ \rm{sgn}(\omega) \hat{f}(\omega)]&= \int_{-\infty}^\infty \dfrac{d \omega}{2 \pi} \left( -i \ \rm{sgn}(\omega) \hat{f}(\omega) e^{i \omega t} \right) \\&= \dfrac{1}{2 \pi i} \int_{-\infty}^\infty d \omega \ \rm{sgn}(\omega) e^{i \omega t} \left( P \int_{-\infty}^\infty d t^\prime f(t^\prime) e^{-i \omega t^\prime} \right) \\&= \dfrac{1}{2 \pi i} P \int_{-\infty}^\infty d t^\prime f(t^\prime) \left( \int_{-\infty}^\infty d \omega \ \rm{sgn}(\omega) e^{i \omega (t-t^\prime)} \right) \\&= \dfrac{1}{2 \pi i} P \int_{-\infty}^\infty d t^\prime f(t^\prime) \left( \int_0^\infty d \omega e^{i \omega (t-t^\prime)} - \int_{-\infty}^0 d \omega e^{i \omega (t-t^\prime)} \right) \\&= \dfrac{1}{2 \pi i} P \int_{-\infty}^\infty d t^\prime f(t^\prime) \left( \left[ \dfrac{e^{i \omega (t-t^\prime)}}{i(t-t^\prime)} \right]_0^{\infty} - \left[ \dfrac{e^{i \omega (t-t^\prime)}}{i(t-t^\prime)} \right]_{-\infty}^0 \right) \\&= \dfrac{1}{2 \pi i} P \int_{-\infty}^\infty d t^\prime f(t^\prime) \left( \dfrac{-2}{i(t-t^\prime)} \right) \\&= \dfrac{1}{\pi} P \int_{-\infty}^\infty d t^\prime \dfrac{f(t^\prime)}{t-t^\prime} \\&= H[f(t)] \tag{3}

と，この様にヒルベルト変換が出てきました．

ヒルベルト変換のフーリエ変換

式 (3) をフーリエ変換してみます．(主値積分とは積分記号に付くものではなく t=t^\prime の時を除くと考えれば良さそうです．)

\mathcal{F}\left[ H[f(t)] \right] &= \int_{-\infty}^\infty dt e^{-i \omega t} \dfrac{1}{\pi} P \int_{-\infty}^\infty d t^\prime \dfrac{f(t^\prime)}{t-t^\prime} \\&= \dfrac{1}{\pi} \int_{-\infty}^\infty d t^\prime e^{-i \omega t^\prime} f(t^\prime) \left( P \int_{-\infty}^\infty dt \dfrac{e^{-i \omega (t-t^\prime)}}{t-t^\prime} \right)\tag{4} chromel-HilbertTransform-01.png

式 (4) の最終行の丸かっこ内の t 積分を実行します．被積分関数を \psi(t) = \dfrac{e^{-i \omega (t-t^\prime)}}{t-t^\prime} と置くと， \omega > 0,R \to \infty, \varepsilon \to +0 の時，下半面で C_R 積分はゼロになり（ジョルダンの補題）， C_{\varepsilon} は t=t^\prime で時計回りに半周に対し，留数 x = \rm{Res}_{t = t^\prime} \psi(t) が反時計回りで一周なので， -x/2 となります．（この証明は，下記参考文献のp.105にあります．）後は実軸上の直線部分が求めたい積分のマイナス一倍となります．この領域には極が含まれていないので，積分は一周してゼロです．つまり，

&\left( \int_{C_R}dt + \int_{\infty}^{t+\varepsilon}dt + \int_{C_\varepsilon}dt + \int_{t-\varepsilon}^{-\infty}dt \right) \psi(t) = 0 \tag{5} \\\\\\&P \int_{-\infty}^\infty dt \dfrac{e^{-i \omega (t-t^\prime)}}{t-t^\prime} \\&= \left( \int_{-\infty}^{t-\varepsilon}dt + \int_{t+\varepsilon}^{\infty}dt \right) \psi(t) \\&= \int_{C_\varepsilon} dt \psi(t) \\&= - \dfrac{1}{2} 2 \pi i Res_{t=t^\prime} \psi(t) \\&= - \pi i \lim_{t \to t^\prime} (t-t^\prime) \dfrac{e^{-i \omega (t-t^\prime)}}{t-t^\prime} \\&= - \pi i\tag{6}

これと同様に \omega<0 の時の積分を行うと， \pi i が得られます．

よって，

P \int_{-\infty}^\infty dt \dfrac{e^{-i \omega (t-t^\prime)}}{t-t^\prime} &= -\pi i \ \rm{sgn}(\omega)\tag{7}

と分かります．（ \omega = 0 の時はどうしたものか？） よって，式 (4) の計算を続行すると，

\mathcal{F}\left[ H[f(t)] \right] &= \dfrac{1}{\pi} \int_{-\infty}^\infty d t^\prime e^{-i \omega t^\prime} f(t^\prime) \left( P \int_{-\infty}^\infty dt \dfrac{e^{-i \omega (t-t^\prime)}}{t-t^\prime} \right) \\&= \dfrac{1}{\pi} \int_{-\infty}^\infty d t^\prime e^{-i \omega t^\prime} f(t^\prime) \left( -\pi i \ \rm{sgn}(\omega) \right) \\&= -i \ \rm{sgn}(\omega) P \int_{-\infty}^\infty d t^\prime e^{-i \omega t^\prime} f(t^\prime) \\&= -i \ \rm{sgn}(\omega) \hat{f}(\omega)\tag{8}

となり，無事ヒルベルト変換のフーリエ変換が求まりました．

今日はここまで，お疲れさまでした！