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とある外微分の公式

この記事では，参考文献『理論物理学のための幾何学とトポロジーI』にある有用な公式について説明します． 短い記事です．

公式

公式とは， X=X^\mu \dfrac{\partial}{\partial x^\mu},Y=Y^\nu \dfrac{\partial}{\partial x^\nu} をベクトル場とし，一形式 \omega=\omega_\mu dx^\mu とします．

d \omega(X,Y) = X[\omega(Y)]-Y[\omega(X)]-\omega([X,Y]) \tag{1}

というものです．参考文献には d \omega([X,Y]) とありますが，これは誤植です．

さらに勘違いしやすい点として，スカラー f に対して， X[f] = X^\mu(\partial_\mu f) という， X[f] はベクトルのスカラー倍ではなく，スカラーを表しています．

公式の証明

まず，与式の左辺は，

d \omega(X,Y) &= \dfrac{\partial \omega_\mu}{\partial x^\nu} dx^\nu \wedge dx^\mu \left( X^\lambda \dfrac{\partial}{\partial x^\lambda}, Y^\kappa \dfrac{\partial}{\partial x^\kappa} \right) \\&= \dfrac{\partial \omega_\mu}{\partial x^\nu} \left( dx^\nu \otimes dx^\mu - dx^\mu \otimes dx^\nu \right) \left( X^\lambda \dfrac{\partial}{\partial x^\lambda}, Y^\kappa \dfrac{\partial}{\partial x^\kappa} \right) \\&= \dfrac{\partial \omega_\mu}{\partial x^\nu} \left( dx^\nu \left( X^\lambda \dfrac{\partial}{\partial x^\lambda} \right) \otimes dx^\mu \left( Y^\kappa \dfrac{\partial}{\partial x^\kappa} \right) - dx^\mu \left( X^\lambda \dfrac{\partial}{\partial x^\lambda} \right) \otimes dx^\nu \left( Y^\kappa \dfrac{\partial}{\partial x^\kappa} \right) \right) \\&= \dfrac{\partial \omega_\mu}{\partial x^\nu} \left( X^\lambda \delta^\nu_\lambda Y^\kappa \delta^\mu_\kappa - X^\lambda \delta^\mu_\lambda Y^\kappa \delta^\nu_\kappa \right) \\&= \dfrac{\partial \omega_\mu}{\partial x^\nu} \left( X^\nu Y^\mu - X^\mu Y^\nu \right)\tag{2}

となります．

また，与式の右辺は，

X[\omega(Y)]-Y[\omega(X)]-\omega([X,Y]) &= X^\nu \partial_\nu(\omega_\mu Y^\mu) - Y^\nu \partial_\nu(\omega_\mu X^\mu) - \omega_\lambda dx^\lambda \left( X^\nu \partial_\nu Y^\mu - Y^\nu \partial_\nu X^\mu \right) \dfrac{\partial}{\partial x^\mu} \\&= X^\nu (\partial_\nu \omega_\mu) Y^\mu + X^\nu \omega_\mu (\partial_\nu Y^\mu) - Y^\nu (\partial_\nu \omega_\mu) X^\mu - Y^\nu \omega_\mu(\partial_\nu X^\mu) \\&- \omega_\lambda \left( X^\nu \partial_\nu Y^\mu - Y^\nu \partial_\nu X^\mu \right) \delta_\mu^\lambda \\&= X^\nu (\partial_\nu \omega_\mu) Y^\mu + X^\nu \omega_\mu (\partial_\nu Y^\mu) - Y^\nu (\partial_\nu \omega_\mu) X^\mu - Y^\nu \omega_\mu(\partial_\nu X^\mu) \\&- \omega_\mu \left( X^\nu \partial_\nu Y^\mu - Y^\nu \partial_\nu X^\mu \right) \\&= X^\nu \dfrac{\partial \omega_\mu}{\partial x^\nu} Y^\mu - Y^\nu \dfrac{\partial \omega_\mu}{\partial x^\nu} X^\mu \\&= \dfrac{\partial \omega_\mu}{\partial x^\nu} \left( X^\nu Y^\mu - X^\mu Y^\nu \right)\tag{3}

よって，両辺は一致しました．これで式 (1) が示せました． 今日はここまで，お疲れさまでした．