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エルミート行列とユニタリー行列の関係

量子力学でもお馴染みの話です． エルミート行列 H ならば，ユニタリー行列 U で挟むことによって対角化し，対角行列 \Lambda = U^\dagger H U とできます． では，逆にユニタリー行列 U で対角化できる行列 A は，エルミート行列しかないの？ という疑問に答えるのがこの記事です．簡単の為，３次行列で話を進めます．

条件を整理する

列ベクトル \bm{x}_1,\bm{x}_2,\bm{x}_3 をユニタリー行列の成分とします． つまり，

U = \begin{pmatrix} & & \\\bm{x}_1 & \bm{x}_2 & \bm{x}_3 \\ & & \end{pmatrix} \tag{1}

です．すると，その逆行列は，エルミート共役(共役転置)をダガー \dagger で表すと，

U^{-1}=U^\dagger = \begin{pmatrix} & \bm{x}_1^\dagger & \\ & \bm{x}_2^\dagger & \\ & \bm{x}_3^\dagger & \end{pmatrix} \tag{2}

となります．対角化された行列を次のように \Lambda とします．

\Lambda = \begin{pmatrix} \lambda_1 & & \\ & \lambda_2 & \\ & & \lambda_3 \end{pmatrix} \tag{3}

さあ，準備ができた

すると， 正方行列の三連続積の展開 でやったように， 行列を展開 [*] できます．

[*]どうやらこれを，スペクトル展開と呼ぶようです．
A &= U \Lambda U^{-1} \\&= \lambda_1 \bm{x}_1 \bm{x}_1^\dagger + \lambda_2 \bm{x}_2 \bm{x}_2^\dagger + \lambda_3 \bm{x}_3 \bm{x}_3^\dagger \\ &= \sum_{i=1}^3 \lambda_i \bm{x}_i \bm{x}_i^\dagger \tag{4}

この \bm{x}_i \bm{x}_i^\dagger はダイアド積と呼ばれる積です． 具体的に

\bm{x} = \begin{pmatrix}\alpha \\\beta \\\gamma \end{pmatrix} \tag{5}

と置くと， \ast を複素共役とするなら，

\bm{x}\bm{x}^\dagger &= \begin{pmatrix}\alpha \\\beta \\\gamma \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\alpha^\ast & \beta^\ast & \gamma^\ast \end{pmatrix} \\&=\begin{pmatrix}|\alpha|^2 & \alpha \beta^\ast & \alpha \gamma^\ast \\\alpha^\ast \beta & |\beta|^2 & \beta \gamma^\ast \\\alpha^\ast \gamma & \beta^\ast \gamma & |\gamma|^2 \end{pmatrix} \\&= (\bm{x}\bm{x}^\dagger)^\dagger \tag{6}

となり，見事にこれは，エルミート行列の条件， H=H^\dagger を満たすことが分かります． その和である A も当然，エルミート行列です．

つまり，ユニタリー行列で対角化できるならば，その行列 A はエルミート行列であることが分かりました． [†]

[†]さらに強く言うなら，エルミート行列はユニタリー行列（別の言い方では，ユニタリー行列とは複素「正規」直交行列です．） \begin{pmatrix} \bm{x}_1 & \bm{x}_2 & \cdots & \bm{x}_n \end{pmatrix} ではなく，任意の複素数 \omega_i を各列に掛けた複素直交行列 \begin{pmatrix} \omega_1 \bm{x}_1 & \omega_2 \bm{x}_2 & \cdots & \omega_n \bm{x}_n \end{pmatrix} (ただし，その逆行列は \begin{pmatrix} \omega_1^{-1} \bm{x}_1^\dagger \\ \omega_2^{-1} \bm{x}_2^\dagger \\ \vdots \\ \omega_n^{-1} \bm{x}_n^\dagger \end{pmatrix} )でも，以上の議論は成立します．

今日はこの辺で，お疲れさまでした．