この記事では,エルミート多項式を一般化します. 色々,遊んでいます.
いきなりですが,次の演算子の変形ができます.
証明はフーリエ変換を使います.
で, は任意ですから,
が言えました.さらには,
も自明です.
式 の演算子を , とし,調整の為 を掛けると,
が得られ,また,
も出ます.式 は変形して,漸化式,
が得られます.
と言うことはです. と に好きな関数を入れてやれば, エルミート多項式の拡張が容易に得られます.
単純に , が直接的な拡張と言えるでしょう.
僕が気に入っているのは, , の時で, これは を無視して, 部分だけを微分する計算になります.
であり,
となります.
コメントをしておくと,僕は最初,線形代数のジョルダン標準形で出てくる,冪ゼロ因子の,
のアナロジー として,これを発見しました. 何か,面白い事が言えそうだと思っています.
今日はここまで,お疲れさまでした!!