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ルジャンドル変換で結ばれた四つのエネルギー関数

この記事ではラグランジアン L とハミルトニアン H のルジャンドル変換を

応用して， q, \dot{q}, p, \dot{p} の間の変換行列を求めます．

復習

まず，微分形がはっきりしている，ハミルトニアン H の微分を求めます．

ハミルトニアンは

dH &= \dfrac{\partial H}{\partial q} dq + \dfrac{\partial H}{\partial p} dp \\&= -\dot{p} dq + \dot{q} dp \tag{1}

ハミルトニアンの自然な変数は q,p です．( dq,dp の式だからです．)

\dfrac{\partial H}{\partial p} &= \dot{q} \\\dfrac{\partial H}{\partial q} &= -\dot{p} \tag{2}

が言えます．次にラグランジアンを調べます．

すると， L= p\dot{q} -H ですから，

dL &= d(p\dot{q} -H) \\&=(\dot{q}dp + p d\dot{q}) - (-\dot{p} dq + \dot{q} dp) \\&= p d\dot{q} + \dot{p} dq \\&= \dfrac{\partial L}{\partial q} dq + \dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}} d\dot{q} \\\tag{3}

となり，ラグランジアンの自然な変数は q,\dot{q} です．

\dfrac{\partial L}{\partial q} &= \dot{p} \\\dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}} &= p \tag{4}

この形から p を消去すると，オイラーラグランジュ方程式が得られます．

&\dot{p} = \dfrac{\partial L}{\partial q} = \dfrac{d}{dt} \left( \dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}} \right) \\&\dfrac{\partial L}{\partial q} - \dfrac{d}{dt} \left( \dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}} \right) = 0\tag{5}

運動に関する情報は全て L に入っています．ルジャンドル変換は情報を落とさないので，

他のエネルギー関数についても同様です．

新しいエネルギー関数

ラグランジアンからハミルトニアンを求めるとき， \dot{q} を消去して (q,\dot{q}) \to (q,p) の変数変換を行いました．

それならば，次の様にしては如何でしょう？

X &= q \dot{p} -L \\dX &= (q d \dot{p} + \dot{p} dq) - ( p d\dot{q} + \dot{p} dq ) \\&= q d \dot{p} - p d \dot{q} \tag{6}

こうすると， q を消去して (q,\dot{q}) \to (\dot{q},\dot{p}) の変数変換を行ったことになります． 式 (6) からは，

\dfrac{\partial X}{\partial \dot{q}} &= -p \\\dfrac{\partial X}{\partial \dot{p}} &= q \tag{7}

この関数 X は今回はあまり重要ではありません． 欲しいのは p,\dot{p} を変数に持つ関数です． それを Y とすると，

Y &= p \dot{q} + X \\&= p \dot{q} + \dot{p} q - L \\&= \dfrac{d}{dt}(pq) - L\tag{8}

すると，その微分は

dY &= (\dot{q} dp + p d \dot{q}) - (-q d \dot{p} + p d \dot{q}) \\&= \dot{q}dp + q d \dot{p}\tag{9}

となり，

\dfrac{\partial Y}{\partial p} &= \dot{q} \\\dfrac{\partial Y}{\partial \dot{p}} &= q \tag{10}

となります．

オイラーラグランジュ方程式をこれに対しても作ることが出来て，

&\dot{q} = \dfrac{\partial Y}{\partial p} = \dfrac{d}{dt} \left( \dfrac{\partial Y}{\partial \dot{p}} \right) \\&\dfrac{\partial Y}{\partial p} - \dfrac{d}{dt} \left( \dfrac{\partial Y}{\partial \dot{p}} \right) = 0\tag{11}

となります．

変換行列

本来 \dot{p},p で書かれる Y を q,\dot{q} で書けると便利です． その変換行列はヤコビ行列，

\begin{pmatrix}\dfrac{\partial \dot{p}}{\partial q} & \dfrac{\partial \dot{p}}{\partial \dot{q}} \\ \dfrac{\partial p}{\partial q} & \dfrac{\partial p}{\partial \dot{q}} \end{pmatrix}\equiv\dfrac{\partial(\dot{p},p)}{\partial(q,\dot{q})}\tag{12}

で書けます．これとその逆行列を求めるのがこの記事の主内容です．

訳あって行ベクトルで書きますが， これが出来ると，

\begin{pmatrix} \dfrac{\partial}{\partial \dot{p}} & \dfrac{\partial}{\partial p} \end{pmatrix}\dfrac{\partial(\dot{p},p)}{\partial(q,\dot{q})}=\begin{pmatrix} \dfrac{\partial}{\partial q} & \dfrac{\partial}{\partial \dot{q}} \end{pmatrix}\tag{13}

より，

\begin{pmatrix} \dfrac{\partial Y}{\partial \dot{p}} & \dfrac{\partial Y}{\partial p} \end{pmatrix}\dfrac{\partial(\dot{p},p)}{\partial(q,\dot{q})}&=\begin{pmatrix} \dfrac{\partial Y}{\partial q} & \dfrac{\partial Y}{\partial \dot{q}} \end{pmatrix} \\\begin{pmatrix} q & \dot{q} \end{pmatrix}\dfrac{\partial(\dot{p},p)}{\partial(q,\dot{q})}&=\begin{pmatrix} \dfrac{\partial Y}{\partial q} & \dfrac{\partial Y}{\partial \dot{q}} \end{pmatrix} \tag{14}

などと出来ます． ここで L,H,X,Y の微分をリストにしておきます．

dL &= \dot{p} dq + p d\dot{q} \\dH &= -\dot{p} dq + \dot{q} dp \\dX &= -p d \dot{q} + q d \dot{p} \\dY &= q d \dot{p} + \dot{q} dp\tag{15}

です．式 (12) は次のように書けます．

\dfrac{\partial(\dot{p},p)}{\partial(q,\dot{q})}&= \begin{pmatrix}\dfrac{\partial \dot{p}}{\partial q} & \dfrac{\partial \dot{p}}{\partial \dot{q}} \\ \dfrac{\partial p}{\partial q} & \dfrac{\partial p}{\partial \dot{q}} \end{pmatrix} \\&= \begin{pmatrix}\dfrac{\partial}{\partial q} \left( \dfrac{\partial L}{\partial q} \right) & \dfrac{\partial}{\partial \dot{q}} \left( \dfrac{\partial L}{\partial q} \right) \\ \dfrac{\partial}{\partial q} \left( \dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}} \right) & \dfrac{\partial}{\partial \dot{q}} \left( \dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}} \right) \end{pmatrix} \\&= \begin{pmatrix}\dfrac{\partial^2 L}{\partial q^2} & \dfrac{\partial^2 L}{\partial q \partial \dot{q}} \\ \dfrac{\partial^2 L}{\partial q \partial \dot{q}} & \dfrac{\partial^2 L}{\partial \dot{q}^2}\end{pmatrix}\tag{16}

一価関数の偏微分は交換できることを使いました． この逆行列はどうなるでしょう？

\dfrac{\partial(q,\dot{q})}{\partial(\dot{p},p)}&= \begin{pmatrix}\dfrac{\partial q}{\partial \dot{p}} & \dfrac{\partial q}{\partial p} \\ \dfrac{\partial \dot{q}}{\partial \dot{p}} & \dfrac{\partial \dot{q}}{\partial p} \end{pmatrix} \\&= \begin{pmatrix}\dfrac{\partial}{\partial \dot{p}} \left( \dfrac{\partial Y}{\partial \dot{p}} \right) & \dfrac{\partial}{\partial p} \left( \dfrac{\partial Y}{\partial \dot{p}} \right) \\\dfrac{\partial}{\partial \dot{p}} \left( \dfrac{\partial Y}{\partial p} \right) & \dfrac{\partial}{\partial p} \left( \dfrac{\partial Y}{\partial p} \right)\end{pmatrix} \\&= \begin{pmatrix}\dfrac{\partial^2 Y}{\partial \dot{p}^2} & \dfrac{\partial^2 Y}{\partial \dot{p} \partial p} \\ \dfrac{\partial^2 Y}{\partial \dot{p} \partial p} & \dfrac{\partial^2 Y}{\partial p^2}\end{pmatrix}\tag{17}

よって，

\begin{pmatrix}\dfrac{\partial^2 L}{\partial q^2} & \dfrac{\partial^2 L}{\partial q \partial \dot{q}} \\ \dfrac{\partial^2 L}{\partial q \partial \dot{q}} & \dfrac{\partial^2 L}{\partial \dot{q}^2}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\dfrac{\partial^2 Y}{\partial \dot{p}^2} & \dfrac{\partial^2 Y}{\partial \dot{p} \partial p} \\ \dfrac{\partial^2 Y}{\partial \dot{p} \partial p} & \dfrac{\partial^2 Y}{\partial p^2}\end{pmatrix}&=\begin{pmatrix}\dfrac{\partial^2 Y}{\partial \dot{p}^2} & \dfrac{\partial^2 Y}{\partial \dot{p} \partial p} \\ \dfrac{\partial^2 Y}{\partial \dot{p} \partial p} & \dfrac{\partial^2 Y}{\partial p^2}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\dfrac{\partial^2 L}{\partial q^2} & \dfrac{\partial^2 L}{\partial q \partial \dot{q}} \\ \dfrac{\partial^2 L}{\partial q \partial \dot{q}} & \dfrac{\partial^2 L}{\partial \dot{q}^2}\end{pmatrix} \\&=\begin{pmatrix}1 & 0 \\0 & 1\end{pmatrix}\tag{18}

が成立します．

後は，他にも A = \dfrac{\partial(q,p)}{\partial(q,\dot{q})} など欲しいかもしれません．

ここで，何が独立変数で何が従属変数なのか，整理して おきましょう． A は， q,\dot{q} の関数で，

分子は引数を明示すると q(q,\dot{q}),p(q,\dot{q}) の引数を取る関数です．

\dfrac{\partial(q,p)}{\partial(q,\dot{q})} &=\begin{pmatrix}\dfrac{\partial q}{\partial q} & \dfrac{\partial q}{\partial \dot{q}} \\ \dfrac{\partial p}{\partial q} & \dfrac{\partial p}{\partial \dot{q}} \end{pmatrix} \\&= \begin{pmatrix} \dfrac{\partial^2 X}{\partial q \partial \dot{p}} & \dfrac{\partial^2 X}{\partial \dot{q} \partial \dot{p}} \\ -\dfrac{\partial^2 X}{\partial q \partial \dot{q}} & -\dfrac{\partial^2 X}{\partial \dot{q}^2}\end{pmatrix}\tag{19}

逆行列は，

\dfrac{\partial(q,\dot{q})}{\partial(q,p)} &=\begin{pmatrix}\dfrac{\partial q}{\partial q} & \dfrac{\partial q}{\partial p} \\ \dfrac{\partial \dot{q}}{\partial q} & \dfrac{\partial \dot{q}}{\partial p} \end{pmatrix} \\&= \begin{pmatrix}\dfrac{\partial^2 Y}{\partial q \partial \dot{p}} & \dfrac{\partial^2 Y}{\partial p \partial \dot{p}} \\ \dfrac{\partial^2 Y}{\partial q \partial p} & \dfrac{\partial^2 Y}{\partial p^2}\end{pmatrix}\tag{20}

となります．注意として，偏微分をする際の固定方向が異なる為に， \dfrac{\partial q}{\partial q}=1 等は言えないようです

これらの行列は，偏微分演算子の行ベクトルに対してだけでなく，

例えば，式 (12) だと微分の列ベクトルに対しても，

\begin{pmatrix}d \dot{p} \\d p\end{pmatrix}&=\dfrac{\partial(\dot{p},p)}{\partial(q,\dot{q})}\begin{pmatrix}dq \\d \dot{q}\end{pmatrix} \\\begin{pmatrix}d \dot{p} \\d p\end{pmatrix}&= \begin{pmatrix}\dfrac{\partial \dot{p}}{\partial q} & \dfrac{\partial \dot{p}}{\partial \dot{q}} \\ \dfrac{\partial p}{\partial q} & \dfrac{\partial p}{\partial \dot{q}} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}dq \\d \dot{q}\end{pmatrix}\tag{21}

等と言う使い方もできます． 今まで，これらの変換は，専ら L,H の偏微分だけで考えていましたが，

この記事によれば， X,Y も用いることでより便利に扱えます．

具体例（調和振動子）

具体的な例で結果を確認しておきましょう． Y は， \dot{p},p で表すべき関数で，

H = \dfrac{p^2}{2m} + \dfrac{k}{2}q^2 \tag{22}

とすると，

\dfrac{\partial H}{\partial q} = kq = -\dot{p} \tag{23}

より，

Y &= \dot{p}q + H \\&= \dfrac{-\dot{p}^2}{k} + \dfrac{p^2}{2m} + \dfrac{1}{2k}\dot{p}^2 \\&= \dfrac{p^2}{2m} - \dfrac{1}{2k}\dot{p}^2 \tag{24}

だから，これを解くと，

&\dfrac{\partial Y}{\partial p} - \dfrac{d}{dt} \left( \dfrac{\partial Y}{\partial \dot{p}} \right) = 0 \\&\dfrac{p}{m} + \dfrac{\ddot{p}}{k} = 0 \\&\ddot{p} = -\dfrac{k}{m}p = - \omega^2 p\tag{25}

となり，確かに，

p = p_0 \sin(\omega t + \phi_0) \tag{26}

と振動解が得られます．

今日はこの辺で，お疲れさまでした．