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単純な図形を不変にする滑らかな流れの生成法

この記事では，便利なベクトル場を生成する手法を論じます． 大雑把な話ですが，なかなか興味深いと思います．

いきなりの本題

二次元平面上に２つの連続な陰関数

f_1(x,y) = c_1 \\f_2(x,y) = c_2 \tag{1}

があるとします．

これは簡単に解釈すると，それぞれ境界で囲まれたある有界な領域から離れるにしたがって， 値を増す関数が左辺で，その等高線を指定するのが右辺の定数値です． もちろん離れるにしたがって負に増大する場合はありますが，ここでは考えません． その場合は全体にマイナスを掛ければいいからです．

ここで，関数 f_i(x,y) - c_i は，それがゼロになる集合で仕切られる 領域の内側と外側では，必ず正のみか，負のみになり，混じることはありません． なぜなら，混じっているなら，その領域間に境界が存在するはずだからです．

ここで， c_1,c_2 を固定して，動くパラメータ C を考えます． 下を考えてみましょう．

(f_1(x,y) - c_1)(f_2(x,y) - c_2) = C \tag{2}

これって， C=0 の時は左辺の積の因子 f_1(x,y) - c_1 (これをゼロにする曲線を \Gamma_1 とする)か f_2(x,y) - c_2 (同じく \Gamma_2 とする)がゼロになっている時で，つまり，式 (1) の和集合 \Gamma = (\Gamma_1 \cup \Gamma_2) です．

面白いのはここからです． C を正負に動かしてみると， \Gamma に滑らかに沿った 曲線群になります．ここで， \Gamma_1 から近い \Gamma_2 の点を みると， C が正になった時， f_1(x,y) - c_1 が小さいの で， \Gamma_2 からはある程度離れた点でもある点で，式 (2) を満たした点の集合を作ります． 一方， \Gamma_1 から大きく離れると， \Gamma_2 はほとんど元の図形から動きません．

具体例

５つほど，上げておきます．(数式可視化ソフトのdesmosを使うといいです)

(1)双曲線

|x||y| = C \tag{3}

(2)四直線に沿う曲線群

(|x|-1)(|y|-1) = C \tag{4}

カッシーニの卵型（ \ell = a ではレムニスケート）

((x-a)^2+y^2)((x+a)^2+y^2)=\ell^4 \tag{5}

非対称なカッシーニの卵型

((x-2)^2+y^2)((x+2)^2+y^2-1)= C \tag{6}

便利なツールとして

これベクトル場で良い感じのを取ってくるのに使えますね． 手計算ではなかなか複雑ですが，数値計算なら有効な手法かと思います．

つまり，曲線の法線ベクトルを求める手法である外微分 (これは一形式なので，それからベクトル場にしたもの)をとったり， それに直交した曲線に沿うベクトルを容易に得ます．（単純な計算とは言っていない）

法線ベクトル場 X は， \psi = (f_1(x,y) - c_1)(f_2(x,y) - c_2) として，

X = \dfrac{\partial \psi}{\partial x}\dfrac{\partial}{\partial x} + \dfrac{\partial \psi}{\partial y}\dfrac{\partial}{\partial y} \tag{7}

接線ベクトル場 Y は，

Y = -\dfrac{\partial \psi}{\partial y}\dfrac{\partial}{\partial x} + \dfrac{\partial \psi}{\partial x}\dfrac{\partial}{\partial y} \tag{8}

となります．どうです？なかなか便利そうな手法ではありませんか？

今日はここまで．お疲れさまでした．