外積代数に関して重要な事柄は,ここまでの記事でほとんどですが, ホッジ作用素 に関する公式だけ,少し補足しておきます.
以下の議論では,空間の向きを保つとします.(つまり,右手系⇔左手系を途中で入れ替えません.)さて,一般のウェッジ積の次数に関し, ベクトル と ベクトルのウェッジ積 について次の関係がなりたちました.( ウェッジ積について補足 を参照して下さい.)
これを基底 に適用すると次のようになります.ただし, は の基底, は の基底とします.
一方,ホッジ作用素の定義式より,次式が言えました.空間の計量が分からないので,右辺の内積はそのままにしておきます.
式 で と を入れ替えると次式を得ます.
そこで,式 を見比べて,次式が得られます.これは言わば,ホッジ作用素の逆作用を表わす式だと言えます.
式 より,ホッジ作用素を二回連続して作用させる場合の表式を得られます.(いま,基底としては正規直交基底を考えていますので, となることに注意して下さい.)
基底の内積 は, p-ベクトルの内積 で定義したように, の基底のうち,計量がマイナスとなる基底の個数に応じて のどちらかの値を取ります.これで,ホッジ作用素を二連続で作用させた場合の公式が得られました.ボリュームフォームの内積は, の基底で計量を負をするもの(例えばミンコフスキー空間の時間軸)の個数を として, と書けますので,式 は次のようにまとめられます.(符号定数 を使って としても同じです.)
theorem
三次元ユークリッド空間 で考えましょう.正規直交基底を と取り,ボリュームフォームを と決めます.このとき,例えば, の基底 と の基底 は,ホッジ作用素によって次のように移されるのでした.( ホッジ作用素 の記事の具体例で考えました.)
公式 は,確かにこの結果を説明しています.
ちゃんと元に戻ってきました(^ ^).
ホッジ作用素に関して,もう一つ定理を補足しておきます. に属する二つの元 に対し,次式が成り立ちます.
theorem
proof
を と書くとき,定理の両辺を にしないのは, の基底が を含まないときだけです.( ホッジ作用素 の記事を参照して下さい.)このことは,裏を返せば の基底が だということです.そこで, と書きます. と,構成する基底を重複しない の基底を と書きます.このとき, と変形できますが,さらに式 を用いて と変形されます.これで定理が示されました.■