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ホッジ作用素を使った公式補足

外積代数に関して重要な事柄は，ここまでの記事でほとんどですが， ホッジ作用素 に関する公式だけ，少し補足しておきます．

ホッジ作用素を二回作用させる

以下の議論では，空間の向きを保つとします．（つまり，右手系⇔左手系を途中で入れ替えません．）さて，一般のウェッジ積の次数に関し， p ベクトル \lambda と q ベクトルのウェッジ積 \mu について次の関係がなりたちました．（ ウェッジ積について補足 を参照して下さい．）

\lambda \land \mu= (-1)^{pq}\mu \land \lambda \tag{1}

これを基底 \sigma_{k}, \sigma_{n-k} に適用すると次のようになります．ただし， \sigma_{k} は \land ^{k}R^{n} の基底， \sigma_{n-k} は \land ^{n-k}R^{n} の基底とします．

\sigma_{k} \land \sigma_{n-k} = (-1)^{k(n-k)}\sigma_{n-k} \land \sigma_{k} \tag{2}

一方，ホッジ作用素の定義式より，次式が言えました．空間の計量が分からないので，右辺の内積はそのままにしておきます．

\sigma_{k} \land \sigma_{n-k} &= (*\sigma_{k} , \sigma_{n-k} ) \sigma_{n} \\&= (*\sigma_{n-k} , \sigma_{n-k} ) \sigma_{n} \tag{3}

式 (3) で k と n-k を入れ替えると次式を得ます．

\sigma_{n-k} \land \sigma_{k} = (\sigma_{k} , \sigma_{k}) \sigma_{n} \tag{4}

そこで，式 (2)(3)(4) を見比べて，次式が得られます．これは言わば，ホッジ作用素の逆作用を表わす式だと言えます．

*\sigma _{n-k} = (-1)^{k(n-k)} (\sigma_{k},\sigma_{k}) \sigma_{k} \tag{5}

式 (3)(5) より，ホッジ作用素を二回連続して作用させる場合の表式を得られます．（いま，基底としては正規直交基底を考えていますので， (\sigma_{k},\sigma_{k})(\sigma_{n-k},\sigma_{n-k})=(\sigma_{n},\sigma_{n}) となることに注意して下さい．）

**\sigma_{k} &=*( (\sigma_{n-k},\sigma_{n-k})\sigma_{n-k}) \\& = (\sigma_{n-k},\sigma_{n-k}) * \sigma_{n-k} \\ & = (\sigma_{n-k},\sigma_{n-k}) (-1)^{k(n-k)} (\sigma_{k},\sigma_{k}) \sigma_{k} \\ &= (-1)^{k(n-k)} (\sigma_{n} , \sigma_{n} )\sigma_{k} \tag{6}

基底の内積 (\sigma _{n}, \sigma _{n}) は， p-ベクトルの内積 で定義したように， R^{n} の基底のうち，計量がマイナスとなる基底の個数に応じて \pm 1 のどちらかの値を取ります．これで，ホッジ作用素を二連続で作用させた場合の公式が得られました．ボリュームフォームの内積は， R^{n} の基底で計量を負をするもの（例えばミンコフスキー空間の時間軸）の個数を s として， (-1)^{s} と書けますので，式 (6) は次のようにまとめられます．（符号定数 t を使って (-1)^{s}=(-1)^{\frac{n-t}{2}} としても同じです．）

theorem

**\sigma_{k} = (-1)^{k(n-k)+s} \sigma_{k}

具体例

三次元ユークリッド空間 E^{3} で考えましょう．正規直交基底を \{ \bm{e_{1}}, \bm{e_{2}}, \bm{e_{3}} \} と取り，ボリュームフォームを (\bm{e_{1}}\land \bm{e_{2}}\land \bm{e_{3}}, \bm{e_{1}}\land \bm{e_{2}}\land \bm{e_{3}})=1 と決めます．このとき，例えば， \land^{1}R^{3} の基底 \bm{e_{1}} と \land^{2}R^{3} の基底 \bm{e_{2}} \land \bm{e_{3}} は，ホッジ作用素によって次のように移されるのでした．（ ホッジ作用素 の記事の具体例で考えました．）

*\bm{e_{1}} = \bm{e_{2}} \land \bm{e_{3}} *(\bm{e_{2}} \land \bm{e_{3}}) = \bm{e_{1}}

公式 (6) は，確かにこの結果を説明しています．

**(\bm{e_{1}})&=(-1)^{1(3-1)}(\bm{e_{1}}\land \bm{e_{2}}\land \bm{e_{3}} , \bm{e_{1}}\land \bm{e_{2}}\land \bm{e_{3}}) \bm{e_{1}} \\&= \bm{e_{1}}

ちゃんと元に戻ってきました(^ ^)．

一つの定理

ホッジ作用素に関して，もう一つ定理を補足しておきます． \land ^{k}R^{n} に属する二つの元 \alpha , \beta に対し，次式が成り立ちます．

theorem

\alpha \land *\beta = \beta \land *\alpha = (-1)^{s}(\alpha , \beta )\sigma_{n}

proof

\alpha を A\sigma_{k}=\bm{e_{h_{1}}}\land \cdots \land \bm{e_{h_{k}}} と書くとき，定理の両辺を 0 にしないのは， *\beta の基底が \bm{e_{h_{i}}} を含まないときだけです．（ ホッジ作用素 の記事を参照して下さい．）このことは，裏を返せば \beta の基底が \sigma_{k} だということです．そこで， \beta = B\sigma_{k} と書きます． \sigma_{k} と，構成する基底を重複しない \land ^{n-k}R^{n} の基底を \sigma_{n-k} と書きます．このとき， \alpha \land *\beta = AB \sigma_{k} \land (\sigma_{n-k},\sigma_{n-k})\sigma_{n-k}=AB(\sigma_{n-k},\sigma_{n-k})\sigma_{n} と変形できますが，さらに式 (5) を用いて AB(\sigma_{n-k},\sigma_{n-k})\sigma_{n}=AB(\sigma_{k},\sigma_{k})(-1)^{s}\sigma_{n}=(\alpha , \beta)(-1)^{-1}\sigma_{n} と変形されます．これで定理が示されました．■

参考文献

  1. Harley Flanders著，『 Differential Forms with Applications to the Physical Science』（ Dover Publications Inc.， 1990, 032111583x）