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ハミルトニアン

ハミルトニアンは系全体のエネルギーを表す関数のことです． だから，ハミルトニアンが一定ならエネルギーが保存します． 別にハミルトニアンなんてなくたって， 全エネルギーは運動エネルギーと位置エネルギーを足したものとして 高校物理から出てきていました． しかしハミルトニアンにはちょっとだけ約束があります． それは位置 x と運動量 p を使うことです．

古典力学（解析力学）では

運動量は mv とは書かず， p と書きます． 例えばポテンシャルエネルギーが V ，運動量 p ，質量 m の物体のハミルトニアンは

H=\frac{p^2}{2m}+V

となります．

量子力学では

量子力学のハミルトニアンは， p を演算子に置き換えます．

H = \frac{1}{2m}\Bigl(-i\hbar\frac{d}{dx}\Bigr)^2+V = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}+V

これはシュレーディンガー方程式でよく目にします．