この記事は現在、プロジェクトメンバーによる査読中のものです。草稿段階ですので、内容・表現の正確さについて責任を負いかねます。リンクを正しく張れていないところが存在しますのでご注意ください。正式公開まで、いましばらくお待ちください。
微小量の積

面積分や体積分には， dxdy や dxdydz といった量がたくさん出てきます．ここで，少し考えてみましょう．微積分では，いままで微小量の高次の項，例えば $dx^{2}$ や $dx^{3}$ を無視してきました．少し正確に言えば， $dx \rightarrow 0$ とした極限では，その影響を無視できると考えて来たわけです．ところが，面積分や体積分には dxdy , dxdydz といった形の微小量が出てきました．ここで『あれ，これは二次以上の微小量なんじゃないの？』と引っ掛かった人がいるかも知れません．

この事情は，直観的には次のように理解できます．図で考えれば， $dx^{2}$ は線素であるを二乗したのに過ぎないのに対し， dxdy は微小な面積を表わしているという違いが分かると思います．

体積素についても同様です．『微小量の高次項は落とす』という，微積分学で使っていた近似は有効で， $dS^{2}$ や $dV^{2}$ が式の中に出てきたら落としてしまって構いません．しかし，線素，面積素，体積素は，一口に微小量と言っても 次元が違う微小量 なのです．

Important

$dx^{2}$ は線素という微小量の二次の微小量ですが， dS=dxdy は面積素という微小量の一次の微小量です．

だいたいの直観的理解は上の図から得られると思いますが，正確な議論は解析学によらなければなりません．

微分形式による表現

微分形式による表現では，線素，面積素，体積素はそれぞれ一次微分形式，二次微分形式，三次微分形式の基底として表現されました．

$dx,\ dy, \ dz$ $dy \land dz,\ dz \land dz, \ dx \land dy$ $dx \land dy \land dv$

前セクションで，『線素，面積素，体積素は，一口に微小量と言っても次元が違う微小量なのです』と書きましたが，微分形式で書けば，これらは全て異なるベクトル空間の元なのですから，違いはより明快です．

また，『同じ種類の微小量の高次項は落とす』というルールと，微分形式の『同じ元のウェッジ積はになる』という演算則は綺麗に対応しています．（式中，例として dS=dxdy とします．）

$dx^{2} =0 \ \ \rightarrow \ \ dx \land dx =0$ $dS^{2} =0 \ \ \rightarrow \ \ (dx \land dy ) \land (dx \land dy) =0$ $dV^{2} =0 \ \ \rightarrow \ \ (dx \land dy \land dz) \land (dx \land dy \land dz) =0$

もう一度，強調しておきますが，微分形式の理論は，外積代数の枠組みで，基底を x,y,z などの代わりに dx,dy,dz としてみただけのものでした．そして，外積代数の演算規則そのものは，テンソル代数から導かれたもので，あまり微積分学とは関係なさそうに思えました．ところが，微分形式を，線素，面積素，体積素などと対応させて考えてみると， 微積分の演算法則と外積代数の演算則が，驚くほど整合する ことに気がつくと思います．これは，なぜなんでしょうか？著者も浅学なため，深遠な理由は分かりませんが，とにかく微分形式の表現の美しさには感嘆させられるばかりです．

数学は美しい．驚くほど美しい．美術館に飾れないのが残念だ．

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