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波の減衰

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波は媒質中を進んでいく時に，高周波ほど早く減衰していきます．例えば空気中を進む音は，花火など遠くで聞くほど低い音が響きますよね．それは，次のようなモデル（運動方程式）で理解できます．

$m \ddot{x} + \zeta \dot{x} + kx = 0 \tag{1}$

第一項は慣性項，第二項はダンピング項（減衰項），第三項は復元力の項です． $m,\zeta,k$ は，それぞれ質量，抵抗，復元力で，すべて正の定数です．この式に $\dot{x}$ を掛けてで積分してみます．

$\dfrac{m}{2}\dot{x}^2 + \dfrac{k}{2}x^2 = E - \zeta \int^t \dot{x}^2 dt$

これは，左辺が運動のエネルギーに対し，右辺が抵抗で必ず負になることから，力学的エネルギーがダンピング項によって，どんどん減衰していく様子を示しています．は積分定数で t=0 における力学的エネルギーを示します．ここで，振動を

$x= A \sin \omega t$

とすると，

$\dot{x}=A \omega \cos \omega t$

となります．振動の速さの微分には $\omega$ が掛かっていますね．これは角周波数 $\omega$ が大きいほど，減衰が早いことになります．

以上，簡単ですが，波の減衰についての説明でした．今日はここまで．