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三角関数のｎ倍角の公式

三角関数のｎ倍角の公式をひたすら求めてみました． なにかの役に立てば幸いです．

求める方法

行列を使う方法，複素数を使う方法，加法定理を使う方法等がありますが， 今回は，複素数を使う方法で求めました．

\cos n \theta + i \sin n \theta =(\cos \theta + i \sin \theta)^n

を使います．計算過程は省略します．計算の確認は，表計算ソフトexcelで行いました．

正弦関数の倍角公式

\sin \theta = \sin \theta \sin 2 \theta = \cos \theta (2 \sin \theta) \sin 3 \theta = -4 \sin^3 \theta + 3 \sin \theta \sin 4 \theta = \cos \theta (-8 \sin^3 \theta + 4 \sin \theta) \sin 5 \theta = 16 \sin^5 \theta - 20 \sin^3 \theta + 5 \sin \theta \sin 6 \theta = \cos \theta (32 \sin^5 \theta -32 \sin^3 \theta + 6 \sin \theta) \sin 7 \theta = -64 \sin^7 \theta + 112 \sin^5 \theta -56 \sin^3 \theta + 7 \sin \theta \sin 8 \theta = \cos \theta (-128 \sin^7 \theta + 192 \sin^5 \theta - 80 \sin^3 \theta + 8 \sin \theta) \sin 9 \theta = 256 \sin^9 \theta - 576 \sin^7 \theta + 432 \sin^5 \theta -120 \sin^3 \theta + 9 \sin \theta \sin 10 \theta = \cos \theta (512 \sin^9 \theta -1024 \sin^7 \theta + 672 \sin^5 \theta - 160 \sin^3 \theta + 10 \sin \theta)

余弦関数の倍角公式

\cos \theta = \cos \theta \cos 2 \theta = 2 \cos^2 \theta - 1 \cos 3 \theta = 4 \cos^3 \theta - 3 \cos \theta \cos 4 \theta = 8 \cos^4 \theta - 8 \cos^2 \theta + 1 \cos 5 \theta = 16 \cos^5 \theta - 20 \cos^3 \theta + 5 \cos \theta \cos 6 \theta = 32 \cos^6 \theta -48 \cos^4 \theta + 18 \cos^2 \theta - 1 \cos 7 \theta = 64 \cos^7 \theta - 112 \cos^5 \theta + 56 \cos^3 \theta -7 \cos \theta \cos 8 \theta = 128 \cos^8 \theta -256 \cos^6 \theta + 160 \cos^4 \theta -32 \cos^2 \theta + 1 \cos 9 \theta = 256 \cos^9 \theta -576 \cos^7 \theta + 432 \cos^5 \theta - 120 \cos^3 \theta + 9 \cos \theta \cos 10 \theta = 512 \cos^{10} \theta -1280 \cos^8 \theta + 1120 \cos^6 \theta - 400 \cos^4 \theta + 50 \cos^2 \theta - 1