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ジョルダン細胞のｎ乗

ジョルダンの標準形で有名なジョルダン細胞のｎ乗を求めます．

ジョルダン細胞

ジョルダン細胞とは，次のｋ次正方行列のことを言います．

J_k = \begin{pmatrix}\lambda & 1 & 0 & \cdots & 0 \\0 & \lambda & 1 & \cdots & 0 \\0 & 0 & \lambda & \cdots & 0 \\\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\0 & 0 & 0 & \cdots & \lambda\end{pmatrix} \tag{1}

このｎ乗を求めてみましょう．

注目する性質は，対角行列（単位行列の定数倍） \Lambda

\Lambda = \begin{pmatrix}\lambda & 0 & 0 & \cdots & 0 \\0 & \lambda & 0 & \cdots & 0 \\0 & 0 & \lambda & \cdots & 0 \\\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\0 & 0 & 0 & \cdots & \lambda\end{pmatrix} \tag{2}

のどんな行列とも可換な性質と， べきゼロ行列 N

N = \begin{pmatrix}0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\0 & 0 & 0 & \cdots & 0\end{pmatrix} \tag{3}

の持つ，何乗かするとゼロになる性質です． ためしに四次のべきゼロ行列のべき乗を求めてみましょう．

N = \begin{pmatrix}0 & 1 & 0 & 0 \\0 & 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 0 & 1 \\0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix} \tag{4} N^2 = \begin{pmatrix}0 & 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 0 & 1 \\0 & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix} \tag{5} N^3 = \begin{pmatrix}0 & 0 & 0 & 1 \\0 & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix} \tag{6} N^4 = \begin{pmatrix}0 & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix} \tag{7}

とこの様に，べき乗すると１のなすラインが上がっていきます．

ここで求めたいのは， J_k の n 乗，

(J_k)^n = (\Lambda + N)^n \tag{8}

です．二項定理を用います．

(J_k)^n &= (\Lambda + N)^n \\&= _n C_0 \Lambda^n + _n C_1 \Lambda^{n-1} N^{1} + _n C_2 \Lambda^{n-2} N^{2} + \cdots \tag{9}

ここで N のべき数を昇順にならべました．あるところからは， N^n はゼロ行列になります．

簡単な例

J_4 = \begin{pmatrix}\lambda & 1 & 0 & 0 \\0 & \lambda & 1 & 0 \\0 & 0 & \lambda & 1 \\0 & 0 & 0 & \lambda\end{pmatrix} \tag{10} (J_4)^2 = \begin{pmatrix}\lambda^2 & 2 \lambda & 1 & 0 \\0 & \lambda^2 & 2 \lambda & 1 \\0 & 0 & \lambda^2 & 2 \lambda \\0 & 0 & 0 & \lambda^2\end{pmatrix} \tag{11} (J_4)^3 = \begin{pmatrix}\lambda^3 & 3 \lambda^2 & 3 \lambda & 1 \\0 & \lambda^3 & 3 \lambda^2 & 3 \lambda \\0 & 0 & \lambda^3 & 3 \lambda^2 \\0 & 0 & 0 & \lambda^3\end{pmatrix} \tag{12} (J_4)^4 = \begin{pmatrix}\lambda^4 & 4 \lambda^3 & 6 \lambda^2 & 4 \lambda \\0 & \lambda^4 & 4 \lambda^3 & 6 \lambda^2 \\0 & 0 & \lambda^4 & 4 \lambda^3 \\0 & 0 & 0 & \lambda^4\end{pmatrix} \tag{13}

とこの様に簡単にべき乗が求まります．

行列の指数関数

行列の指数関数がジョルダン細胞の場合にも，求まったので書いておきます．

\exp (t J_k) &\equiv \sum_{n=0}^\infty \dfrac{(t J_k)^n}{n!} \\&= \sum_{n=0}^\infty \dfrac{1}{n!} \sum_{i=0}^n \dfrac{n!}{(n-i)!i!} t^n \Lambda^{n-i} N^i \\&= \sum_{i=0}^\infty N^i \dfrac{t^i}{i!} \sum_{n=i}^\infty \dfrac{t^{n-i} \Lambda^{n-i} }{(n-i)!} \\&= \sum_{i=0}^\infty N^i \dfrac{t^i}{i!} \exp (t \lambda) \\&= \sum_{i=0}^{k-1} N^i \dfrac{t^i}{i!} \exp (t \lambda) \tag{14}

よって，例えば，四次なら，

\exp (t J_4)=\begin{pmatrix}\exp (t \lambda) & \dfrac{t}{1!} \exp(t \lambda) & \dfrac{t^2}{2!} \exp(t \lambda) & \dfrac{t^3}{3!} \exp(t \lambda) \\0 & \exp(t \lambda) & \dfrac{t}{1!} \exp(t \lambda) & \dfrac{t^2}{2!} \exp(t \lambda) \\0 & 0 & \exp(t \lambda) & \dfrac{t}{1!} \exp(t \lambda) \\0 & 0 & 0 & \exp(t \lambda)\end{pmatrix} \tag{15}

となります．以上でこの話は終わりです． 続々ベクトルの回転 と比べると面白いかもしれません． ここまで読んだなら，その応用をぜひ知ってください． ジョルダン標準形の指数関数の応用 をご覧あれ． 今日はここまで，お疲れ様でした．