この記事は現在、プロジェクトメンバーによる査読中のものです。草稿段階ですので、内容・表現の正確さについて責任を負いかねます。 リンクを正しく張れていないところが存在しますのでご注意ください。 正式公開まで、いましばらくお待ちください。
外微分

三次元ユークリッド空間 R^{3} 上の外積代数を考えると，微分形式として次の 4 つを定義できました．

【零次微分形式】

ただの関数． f(x,y,z),g(x,y,z) など．

【一次微分形式】

\omega_{1} = f(x,y,z)dx+g(x,y,z)dy+h(x,y,z)dz \tag{1}

【二次微分形式】

\omega_{2} = P(x,y,z)dy \land dz +Q(x,y,z)dz \land dx +R(x,y,z)dx \land dy\tag{2}

【三次微分形式】

\omega_{3} = \Theta (x,y,z)dx \land dy \land dz \tag{3}

それぞれ， 1,\ \ dx,dy,dz,\ \ dx\land dy,dy\land dz,dz\land dx,\ \ dx\land dy\land dz を基底とするベクトルの形になっていることを，もう一度確認して下さい．（零次微分形式はスカラーに相当．）さて，基底の次数別に何次微分形式などと呼び分けていますが，これらは異なる次数の外積空間の元ですので，言ってみれば，違う世界に住んでいるようなものです．

次数の異なる微分形式の間には，どのような関係があるのでしょうか？（まさか何の関係も無いというわけはなさそうですよね．）

外微分

実は， 外微分 という演算によって，次数の異なる微分形式を関係づけることが出来ます．零次微分形式を一回外微分すると一次微分形式，一次微分形式を一回外微分すると二次微分形式，二次微分形式を一回外微分すると三次微分形式という具合に，外微分を行うことで，微分形式は一つ次数が上の微分形式に対応させられます．

[*]この段階では，まだ外微分とは何か，具体的に示していませんので，『そのような関係を与える写像を入れることが出来る』というような言い方に留めておいた方が正確でしょう．しかし，すぐに示すように，外微分も，今までよく知っている微分によく似た計算です．

いきなりですが，関数の全微分を求める計算を思い出しましょう．ただの関数は零次微分形式ですから， \omega_{0}=f(x,y,z) と置きましょう．この 全微分 が次のように書けることは，既に微積分学でお馴染みだと思います．

d\omega_{0} = \frac{\partial f}{\partial x}dx+ \frac{\partial f}{\partial y}dy+ \frac{\partial f}{\partial z}dz \tag{4}

よく見ると，これは一次微分形式の形になっていますね．そこで，関数の全微分を求める計算は，『零次微分形式→一次微分形式』という写像だと考えることも出来るわけです．いまから考える外微分という計算も，関数の全微分を，もっと高次の微分形式にも拡張したものだと考えて下さい．以下の 5 つのルールに基づく演算を 外微分 だと定義します．

[†]今までの人生で，全微分を計算したことは何度もあると思いますが，『零次微分形式から一次微分形式への写像』をしていたとは気がつかなかったかもしりません．次からは，全微分を見たら一次微分形式だと思ってみましょう．

definition

  1. 0 次微分形式 \omega _{0}=f に対し， df=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy+ \frac{\partial f}{\partial z}dz とする．
  2. 1 次微分形式 \omega _{1}= fdx+gdy+hdz に対し， d\omega = df \land dx+df \land dy +df \land dz とする．
  3. 2 次微分形式 \omega _{2}= Pdy \land dz + Q dz \land dx + R dx \land dy に対して， d\omega = dP \land dy \land dz + dQ \land dz \land dx + dR \land dx \land dy とする．
  4. 3 次微分形式 \omega _{3}= \Theta dx \land dy \land dz に対して， d\omega = d\Theta \land dx \land dy \land dz \ (=0) とする．
  5. 任意の次数の微分形式について d(d\omega)=0 とする．

五番目の性質は， ポアンカレの補題 として知られるもので，二回連続で外微分を取れば，どんな微分形式でも零になるという主張です．この性質は，また稿を改めて考えます．まず，一次微分形式の外微分を実際に計算してみましょう．（途中で dx \land dx =0, \ \ dx \land dy = -dy \land dx などの性質に注意して下さい．）

d\omega _{1} &= d(f(x,y,z)dx+g(x,y,z)dy+h(x,y,z)dz) \\ & = df \land dx + dg \land dy + dh \land dz \\& = \left( \frac{\partial f}{\partial x}dx + \frac{\partial f}{\partial y}dy + \frac{\partial f}{\partial z}dz \right) \land dx +\left( \frac{\partial g}{\partial x}dx + \frac{\partial g}{\partial y}dy + \frac{\partial g}{\partial z}dz \right) \land dy+\left( \frac{\partial h}{\partial x}dx + \frac{\partial h}{\partial y}dy + \frac{\partial h}{\partial z}dz \right) \land dz \\&= \frac{\partial f}{\partial y}dy \land dx + \frac{\partial f}{\partial z}dz \land dx + \frac{\partial g}{\partial x}dx \land dy + \frac{\partial g}{\partial z}dz \land dy + \frac{\partial h}{\partial x}dx \land dz + \frac{\partial h}{\partial y}dy \land dz \\&= \left( \frac{\partial h}{\partial y} - \frac{\partial g}{\partial z} \right) dy \land dz + \left( \frac{\partial f}{\partial z} - \frac{\partial h}{\partial x} \right) dz \land dx + \left( \frac{\partial g}{\partial x} - \frac{\partial f}{\partial y} \right) dx \land dy \tag{5}

確かに， d\omega_{1} は二次微分形式になっていることが分かります．次に，二次微分形式の外微分も計算してみます．

d\omega _{2} & = d( P(x,y,z)dy \land dz +Q(x,y,z)dz \land dx +R(x,y,z)dx \land dy) \\ &= dP \land dy \land dz +dQ \land dz \land dx +dR \land dx \land dy \\ &= \left( \frac{\partial P}{\partial x}dx + \frac{\partial P}{\partial y}dy + \frac{\partial P}{\partial z}dz \right) \land dy \land dz + \left( \frac{\partial Q}{\partial x}dx + \frac{\partial Q}{\partial y}dy + \frac{\partial Q}{\partial z}dz \right) \land dz \land dx+ \left( \frac{\partial R}{\partial x}dx + \frac{\partial R}{\partial y}dy + \frac{\partial R}{\partial z}dz \right) \land dx \land dy \\&= \frac{\partial P}{\partial x}dx \land dy \land dz + \frac{\partial Q}{\partial y}dy \land dz \land dx + \frac{\partial R}{\partial z}dz \land dx \land dy \\&= \left( \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y}+ \frac{\partial R}{\partial z} \right) dx \land dy \land dz \tag{6}

これは三次微分形式になっています．最後の段で，基底の順列と符号にだけ気をつけてください．では，最後に三次微分形式の外微分が 0 になることを確認してみましょう．

d\omega_{3} &= d(\Theta (x,y,z)dx\land dy \land dz ) \\ &= d\Theta \land dx \land dy \land dz \\&= \left( \frac{\partial \Theta}{\partial x} dx+ \frac{\partial \Theta}{\partial y}dy+ \frac{\partial \Theta}{\partial z}dz \right) \land dx \land dy \land dz \\ & = 0 \tag{7}

三次微分形式の外微分が 0 になるのは， R^{3} 上の微分形式を考えているからです．一般に， \land^{n}R^{n} の元の外微分は 0 になります．微分形式の外微分を取ると，微分形式の次数が一つ上がるという点を確認して下さい．

Important

外微分は微分形式の次数を一つ上げます．（写像 d: \ \land ^{k}R^{n} \ \longmapsto \ \land^{k+1}R^{n} になっています．）

[‡]式 (4)(5)(6) の成分を見て， {\rm grad}, \ {\rm rot}, \ {\rm div} の計算に似ていると思った人はなかなか鋭いです．ベクトル解析に出てきた {\rm grad}, \ {\rm rot}, \ {\rm div} が外微分に対応することは， もう一度grad,div,rot で示します．

練習問題

式 (5) と式 (6) にもう一回外微分を施し， d(d\omega)=0 が成り立っていることを確認してみて下さい．

全微分の座標不変性

あまり考えたことがなかったかも知れませんが，全微分は座標系によりません．

df = \frac{\partial f}{\partial x}dx+ \frac{\partial f}{\partial y}dy+ \frac{\partial f}{\partial z}dz

もし，適当な座標変換をして x=x(u,v,z), \ y=y(u,v,z), \ z=z(u,v,w) と変数変換できるとすれば，合成関数の微分公式により，次のような式変形が可能です．

df &= \frac{\partial f}{\partial x}dx+ \frac{\partial f}{\partial y}dy+ \frac{\partial f}{\partial z}dz \\& = \frac{\partial f}{\partial x}\left( \frac{\partial x}{\partial u}du + \frac{\partial x}{\partial v}dv + \frac{\partial x}{\partial w}dw \right) + \frac{\partial f}{\partial y}\left( \frac{\partial y}{\partial u}du + \frac{\partial y}{\partial v}dv + \frac{\partial y}{\partial w}dw \right) + \frac{\partial f}{\partial z}\left( \frac{\partial z}{\partial u}du + \frac{\partial z}{\partial v}dv + \frac{\partial z}{\partial w}dw \right) \\& = \left( \frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u}+ \frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial u}+\frac{\partial f}{\partial z} \frac{\partial z}{\partial u}\right) du + \left( \frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial v}+ \frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial v}+\frac{\partial f}{\partial z} \frac{\partial z}{\partial v}\right) dv+\left( \frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial w}+ \frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial w}+\frac{\partial f}{\partial z} \frac{\partial z}{\partial w}\right) dw \\&= \frac{\partial f}{\partial u}du+ \frac{\partial f}{\partial v}dv+ \frac{\partial f}{\partial w}dw

これより \frac{\partial f}{\partial x}dx+ \frac{\partial f}{\partial y}dy+ \frac{\partial f}{\partial z}dz=df= \frac{\partial f}{\partial u}du+ \frac{\partial f}{\partial v}dv+ \frac{\partial f}{\partial w}dw と書くことが出来ます．これはどういうことかと言えば，適当な座標変換 (x,y,z)\longmapsto (u,v,w) の下で，全微分 df が不変だということです．

theorem

全微分は，座標変換に対して不変です．

薄々予想されることですが，全微分の持つこの性質は，全微分を拡張したものである外微分にも引き継がれています．後ほど， 外微分の座標不変性 で詳しく考えてみる予定ですので，その準備として，とりあえず全微分の座標不変性を確認しておいて下さい．

[§]もちろん，ここで用いた座標変換とは， (x,y,z) と (u,v,w) を相互に関係付ける，滑らかな（少なくとも C^{1} 級の）関数による写像を意味しています．あんまり変チクリンな座標変換は考えません．しかし，あとで 微分形式の引き戻し で考えるように，微分形式で考える座標変換は変数の次数が変わる場合（例えば (x,y)\longmapsto (u,v,w) ）でも，写像が滑らかでさえあれば微分形式を不変に保ちます．通常のテンソル解析では同じ次数の可逆な変換（直交変換など）しか考えなかったことと比べると，微分形式の方がかなり自由度が高そうです．