この記事では,ハミルトニアンとラグランジアンの全微分形を確認します. その後で,特に一粒子の調和振動子に対する表式を確認します.
時間に依存しないハミルトニアンに対して, 正準方程式は,時間微分をドットで表すと,
ですね.よって,ハミルトニアンの全微分は,
となります.
式 にルジャンドル変換を行います.
ですから,
となります.
調和振動子の運動方程式は,
です.この関係を用いて,まずは を で表します. より,
とこの様になります.そして,ラグランジアンの方は, で表しますから,
となります.そして,これらの量は状態量であるので,
や,
が成立し,適当な積分路で積分してやれば,積分路の端点 が同じである限り, どんな積分路であろうとも,
となります.それでは今日はこの辺で.