物理のかぎしっぽ数式掲示板

・微分記号(7) ・無題(0) ・BEC(1) ・立体角(4) ・動圧から風速を求める方法について質問します(1) ・一様磁場中ローレンツ力による円運動(16) ・頭の悪い僕(0) ・ガウス(4) ・線密度ρの鎖の運動(4) ・等速円運動(2)

微分記号　 aintfober - 2012/02/03(Fri) 20:36 No.29835

aintfoberです。具体的な問題というよりは記法に関する質問なのですが、回答お願いします。
回路のエネルギー保存則についてです。
例えば、回路方程式
E = RI + Q/C
などが成り立つ回路で、エネルギー保存則はこれにI=dQ/dtをかけた
d(EQ)/dt = RI^2 +d(Q^2/C)/dt…①
或いはその積分(電池の仕事W=EQ、静電エネルギーUcとして)
W = ∫[0.∞]RI^2dt + Uc…②
となるかと思いますが、②右辺第一項の積分=抵抗のジュール熱J、P=RI^2とおき、P=dJ/dtと考え、
①で分母dtを払った形
dW= dJ + dUc …③
のように、熱力学第一法則dQ=dU+dWoutを真似た形でかくのは誤りでしょうか？

Re: 微分記号　 Yokkun - 2012/02/03(Fri) 22:47 No.29837

私はなかなかよいアイディアだと思います。

ただし，①は

d(EQ)/dt → E dQ/dt

ですね。

Re: 微分記号　 aintfober - 2012/02/04(Sat) 17:02 No.29845

回答ありがとうございます。
本当ですか、安心しました。
ところで、あるサイトさんにこんなことが書かれていました。
「力f↓を受けて微小距離dr↓動く質点が受ける微小な仕事は
δw=f↓・dr↓ …④(左辺は全微分とは限らないので、dwとはかかない)」
僕はまだ受験生なので、全微分とかは深く勉強できていません。なので今までは微小仕事Δwの無限小としてdw=～と書いたりしていた(dwと書いている文献もありました)のですが…これを見る限り、今まで変化量Δの無限小として何気に書いていた微小量d□は、多変数の場合特別な注意が必要になるということでしょうか？③式のジュール熱は場合によっては電圧と電流の多変数だし危険なのかなーと思ってしまいました。
今後答案練習をして行く中でも③式(或いはΔに直した式)なんかはエネルギー保存則としてしょっちゅう使うと思うのでもう一度確認させて頂きたいのですが、
④式をdw=～と書くことや、③式の微小量の和の表現、特にdJ=(RI^2)dtという表現は数学的に正しいでしょうか？

Re: 微分記号　 Yokkun - 2012/02/04(Sat) 19:51 No.29849

なるほど。私もそこまでは考えていませんでした。dも，δも，Δも使い分けの必要があるときには使い分けていますが，単に微小変化の意味でごっちゃにしてますので…。

>δw=f↓・dr↓ …④(左辺は全微分とは限らないので、dwとはかかない)

これは仕事の定義から考えるとちょっと腑に落ちないところがありますね。

$<tex>W = \int\bm{F}\cdot\mathrm{d}\bm{r}</tex>$

であって，

$<tex>W = \int \mathrm{d}(\bm{F}\cdot\bm{r})</tex>$

ではないので，

$<tex>\mathrm{d}W = \mathrm{d}\bm{F}\cdot\bm{r} + \bm{F}\cdot\mathrm{d}\bm{r}</tex>$

とは書けないですよね。どうなんでしょう？　この場合の「全微分」が何を意味しているか理解できていません。

Re: 微分記号　 yama - 2012/02/05(Sun) 00:23 No.29854

私は、全微分は（変数の無限小変化に対する）多変数関数の無限小変化だと理解しています。
例えば多変数関数 $<tex>W(\bm r)=W(x,y,z)</tex>$ の無限小変化
$<tex>dW(\bm r)=W(\bm r+d\bm r)-W(\bm r)=\nabla W(\bm r)\cdot d\bm r=\frac{\partial W}{\partial x}dx+\frac{\partial W}{\partial y}dy+\frac{\partial W}{\partial z}dz</tex>$
は全微分です。

仕事
$<tex>W=\int\bm F\cdot d\bm r</tex>$
は一般には $<tex>\bm r</tex>$ だけの関数ではなく積分経路に依存します。
従って
$<tex>dW=\bm F\cdot d\bm r</tex>$
は無限小量ですが
$<tex>dW=W(\bm r+d\bm r)-W(\bm r)</tex>$
となるような関数 $<tex>W(\bm r)</tex>$ は一般には存在せず、その場合は <tex>dW</tex>

は全微分ではありません。
（従って全微分と区別するために $<tex>\delta W</tex>$ と書いたりするわけです。）

しかし力 $<tex>\bm F</tex>$ が保存力の場合は、仕事は経路によらないため <tex>W</tex>

は $<tex>\bm r</tex>$ の関数 $<tex>W(\bm r)</tex>$ となって <tex>dW</tex>

は全微分になります。その場合は
$<tex>\bm F=\nabla W(\bm r)</tex>$
となり、 $<tex>-W(\bm r)</tex>$ がポテンシャルエネルギーになるわけです。

逆に
$<tex>\bm F=\nabla W(\bm r)</tex>$
となるような関数 $<tex>W(\bm r)</tex>$ が存在すれば、 $<tex>dW=\bm F\cdot d\bm r</tex>$ は全微分（すなわち $<tex>W(\bm r)</tex>$ の無限小変化）になり、力 $<tex>\bm F</tex>$ は保存力になります。

Re: 微分記号　 Yokkun - 2012/02/05(Sun) 08:28 No.29857

yamaさん，ありがとうございます。

「多変数関数の無限小変化」までは理解していましたが，座標以外の何が変数になるんだろうと思いました。なるほど，一般に経路に依存する仕事では関数自体が存在せず，いきあたりばったりの $<tex>\delta W</tex>$ だけが無限小変化となり，全微分 $<tex>\mathrm{d}W</tex>$ は定義できない，ということですね？　私は保存力のことしか頭になかったようです。

Re: 微分記号　 yama - 2012/02/05(Sun) 11:17 No.29859

そういうことだと思います。

ところで、熱力学のテキストでも全微分も単なる無限小量も区別せずに <tex>dQ</tex>

のように表記しているものもあるので、必ず区別して表記しないといけないわけではありません。
しかし区別して表記していない場合でも、取り扱いでは区別が必要になります。

初めに戻って回路のエネルギーについて考えると
E = RI + Q/C
でE,R,Cは定数なのでIはQの関数になりますね。
従って仕事W=EQも静電エネルギーUcもジュール熱J=∫[0.t]RI^2dt もすべてQの関数になります。
（ジュール熱としてはJ=∫[0.∞]RI^2dtではなく、電荷がQになる時刻tまでに発生する熱量を考えます。）
このとき
W=J+Uc
なので
dW=dJ+dUc
と書くことができます。
ここでdW,dJ,dUcはいずれも１変数関数の無限小変化なので（全微分とはいいませんが）全微分と同じように取り扱うことができるため
δW=δJ+dUc
と書く必要はないでしょう。
ただしこれは今考えている回路の場合に限ったことであって、無限小の仕事や熱量は一般には全微分（または１変数関数の微分）にはなりません。

Re: 微分記号　 aintfober - 2012/02/05(Sun) 22:11 No.29864

Yokkunさんにyamaさん、回答ありがとうございます。
お二人の議論で、疑問がすっかり解決しました。
積分が経路に依存するというのがミソだったんですね。
微積についての理解が深まった気がします。

無題　はじめ - 2012/02/05(Sun) 16:21 No.29862

まっすぐな円筒にまかれた導線がある。単位当たりの巻き数はｎ、総巻き数はN、円筒の断面はSであり、内部の透磁率はμである。
a)電流Iが流れているとき、円筒内部の磁束密度
b)この導線の自己インダクタンス

c)この導線に重ねて、単位当たりの巻き数ｍ、総巻き数Mの導線まいたときの、この二つの導線の相互インダクタンス

自分なりに時解きましたが、
a)H=nI よりB=μnI
b)Φ=μnIS、ΦがN回貫くのでL=NΦ/I=μnNS
ここまであっているでしょうか？
またc)の相互インダクタンスの求め方がいまいちよくわかりません。

解説お願いします。

BEC　 it（学部三年生） - 2012/02/04(Sat) 22:30 No.29851

過去ログでもありましたが、解決できてなかったので書き込ませていただきます。
no.22594

BECの話なのですが、
N全粒子数の期待値、N0基底状態（E0=0とする）にいる粒子数の期待値、N'それ以外にいる粒子数の期待値
N=N0+N'ですが、

Appell関数のF3/2(y)(y=exp(μ/kT))
で　N'=V×F3/2(y)/λ^3 　　　　λは熱的ドブロイ波長,Vは体積
と表しますよね？

ここでλはTの関数でもあり、F3/2(y)はμの関数でもある。
μはＴの関数でもありますから、
結果的にTの関数となっていて、N(T)＝N'(T)と単純にすれば良い所を、
計算の複雑性のためか、N(T)=N'max(T)としている(μ=0と置いた)。
これでは臨界温度ではμ=0となる事の根拠がないように思われる。
誰かわかる方いらっしゃいますか？

Re: BEC　 it（学部三年生） - 2012/02/04(Sat) 22:41 No.29852

tex使ってみます。
過去ログでもありましたが、解決できてなかったので書き込ませていただきます。
no.22594

BECの話なのですが、
<tex>N</tex>

全粒子数の期待値、

基底状態（

とする）にいる粒子数の期待値、 <tex>N'</tex>

それ以外にいる粒子数の期待値
<tex>N=N_0+N'</tex>

ですが、

Appell関数の
$<tex>F_{3/2}(y)</tex>$
( $<tex>y = exp(\mu/{kT})</tex>$ )

で
$<tex>N'= VF_{3/2}(y)/{\lambda_t^3} </tex>$
$<tex>\lambda_t</tex>$ は熱的ドブロイ波長,Vは体積
と表しますよね？

ここでλはTの関数でもあり、 $<tex>F_{3/2}(y)</tex>$ はμの関数でもある。
μはＴの関数でもありますから、
結果的にTの関数となっていて、 <tex>N(T)=N'(T)</tex>

と単純にすれば良い所を、
計算の複雑性のためか、 <tex>N(T)=N'max(T)</tex>

としている(μ=0と置いた)。
これでは臨界温度では $<tex>\mu=0</tex>$ となる事の根拠がないように思います。
誰かわかる方いらっしゃいますか？

立体角　 DOG - 2012/02/04(Sat) 01:47 No.29838

半頂角 θ の円錐の立体角（ステラジアン）は、なぜ2π(1-cosθ)となるのでしょうか。
ネットで調べたところ、
dΩ=2πsinθdθ
を積分すればよいとのことですが、一体2πsinθdθはどこからでてくるのでしょうか？

Re: 立体角　 Yokkun - 2012/02/04(Sat) 07:34 No.29841

立体角の定義によれば，

原点を中心として単位長を半径とする球面を切り取る面積

です。半径Rの球面を半頂角θで切り取ってできる円の半径はRsinθで，微小角dθの幅のリングの面積がdS = 2πRsinθdθ。これを0～θにわたって積分すると切り取る球面の面積になります。R=1とすれば立体角ですね。

Re: 立体角　 DOG - 2012/02/04(Sat) 19:19 No.29847

Yokkunさん返信ありがとうございます。
なるほど。そのようなイメージだったのですね。

自分なりに、次のようにおもったのですがこの考えはあってますでしょうか？

半径1の球面上の微小面積はsinθdθdφ　すなわちこれが立体角なので、これをφについて0～2πまで積分、θについて0～θまで積分したものが半頂角θの円錐の立体角となる。

どうでしょうか。

Re: 立体角　 Yokkun - 2012/02/04(Sat) 19:38 No.29848

はい，まったくそのとおりですね。

Re: 立体角　 DOG - 2012/02/04(Sat) 21:47 No.29850

Yokkunさんありがとうございました。
おかげで理解できました。

動圧から風速を求める方法について質問します　もんすーん - 2012/02/04(Sat) 13:30 No.29844

動圧から風速を求める方法について質問します。

地人書館発行のＬ・Ｗマクノート著　核兵器　のｐ101において、静過圧0.68気圧のときの動圧0.15気圧は時速470km(秒速128m)であると記述してありますが、動圧から風速を算出する式はどのようなものになるでしょうか？　またこの時、気圧をパスカル、psiにした場合についても同様に質問します。

Re: 動圧から風速を求める方法について質問します　 toorisugari no Hiro - 2012/02/04(Sat) 17:35 No.29846

密度 $<tex>\rho</tex>$ の流体の一部が相対的な速さ <tex>v</tex>

で動くと $<tex>\Delta P =\frac{1}{2} \rho v^2</tex>$ だけ圧力が相対的に下がります。これを逆算すればいいだけです。

ただ、これらの計算ではSIあるいはMKS単位系に変換して行う必要があります。
単位の変換係数や気体の密度などの物性値は知りませんので、ご自分で文献等で調べてください。

一様磁場中ローレンツ力による円運動　 aintfober - 2012/02/01(Wed) 17:54 No.29815

一様磁場中でローレンツ力により荷電粒子が円運動を行うことの証明についてお聞きしたいと思います。
当方、極座標を用いて運動方程式をとく幾つかの練習として、上の証明を試していたのですが、微分方程式が複雑すぎて、円運動が特殊解の一つであることまでしか示せず詰まってしまいました。
そこで、この掲示板の過去ログを拝見しましたところ、これと全く同内容の質問として、2008年4月18日付ふぉっくすさんの質問を発見し、そこでの回答を参考に再度計算を行ってみたのですが、回答者toorisugari no～さんの最後の回答にある記述
dr/dt = ω × r ・・・(＊)
以降、(1)以下の計算内容がどう処理されているのかいまいちわかりません。
例えば、「(1)(2)は左辺を微分して～」とありますが、そこで現れるωベクトルの時間微分とr(t)ベクトルの内積は恐らく0になるのでしょうが、その根拠がわかりません。
また当方、外積計算にまだあまり慣れていないもので、(3)の四重積(外積の内積ってことでしょうか？)もどう解消するのかわからず困っています。
つまるところ…(＊)式の意味までは理解できるのですが、それ以降(1)からの計算内容とそこから示される「ベクトル積の性質から～」といった結論の根拠がよくわからないのです。重複してしまうのですが、どなたか回答をお願いできませんでしょうか？
なお、この円運動の証明自体は、①x成分y成分に関する連立微分方程式(単振動形)を解く方法と、②曲率半径ρの曲率円で円運動に近似してρ=const.を示す方法の2通りについて既に自分で確かめることができたので、(解法としては不向きなのかもしれませんが)あくまで極座標・ベクトル的な方法にこだわるというスタンスで解説をお願いしたいと思います。

Re: 一様磁場中ローレンツ力による円運動　 Yokkun - 2012/02/01(Wed) 22:53 No.29817

aintfoberさん。

過去ログからご紹介の解説を読みました。私にとってもちょっと新鮮な記述だったので，一緒に勉強させて下さい。

まず，
$<tex>\frac{\mathrm{d}\bm{r}}{\mathrm{d}t} = \bm{\omega} \times \bm{r}</tex>$

$<tex>\bm{\omega}</tex>$ との内積をとると，右辺のベクトル積は $<tex>\bm{\omega}</tex>$ に垂直なので

$<tex>\frac{\mathrm{d}\bm{r}}{\mathrm{d}t}\cdot\bm{\omega} = 0</tex>$

が導かれます。一方，

$<tex>\frac{\mathrm{d}(\bm{r}\cdot\bm{\omega})}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}\bm{r}}{\mathrm{d}t}\cdot\bm{\omega} + \bm{r}\cdot\frac{\mathrm{d}\bm{\omega}}{\mathrm{d}t}</tex>$

ですから， $<tex>\bm{\omega}</tex>$ が定ベクトルならば第２項もゼロ。したがって，

$<tex>\frac{\mathrm{d}(\bm{r}\cdot\bm{\omega})}{\mathrm{d}t} = 0</tex>$

から，

$<tex>\bm{r}(t)\cdot\bm{\omega} = \bm{r}(0)\cdot\bm{\omega}</tex>$

が得られます。これは，微分方程式の結果であってこれ自体が
「(1)は軌道が $<tex>\bm{\omega}</tex>$ に垂直な平面内にあることを示します．」
ということだと思います。ここまでいかがでしょうか？

Re: 一様磁場中ローレンツ力による円運動　 aintfober - 2012/02/01(Wed) 23:58 No.29818

返信ありがとうございます。
計算の字面としては理解できますが、やはり「ωが定ベクトルならば」という前提なんですね。
そもそも僕としては、(恐らく質問者のふぉっくすさんもそうだったのだと思いますが)「[xy平面内で]ローレンツ力のみを受けてなんらかの軌跡を描く荷電粒子の運動」を思い描いた上で、運動方程式を解き軌道を決定しようとしていたので、
①角速度ベクトルω↓も位置ベクトルr↓も時間の関数で、一般には定ベクトルではない(下の②でいうとω↓のz成分ωが時間の関数)
②xy平面内の運動なので、ω↓=(0.0.ω)のようにz軸平行にとってよい
といった前提のもとで式を眺めていたので、「何故軌道がωに垂直な平面内～ということから示そうとしているのか？」そこがまたよくわからないところでもありました。
そのため僕は、「(1)式左辺の微分第二項は、式(＊)でr↓をω↓に置き換えてω↓×ω↓=0から得たものなのかな～」と解釈していました。もはや前提を①②とした議論ではないのですか？

Re: 一様磁場中ローレンツ力による円運動　 Yokkun - 2012/02/02(Thu) 08:12 No.29819

荷電粒子の運動方程式は，

$<tex>m\frac{\mathrm{d}\bm{v}}{\mathrm{d}t} = q\bm{v}\times\bm{B} = -q\bm{B}\times\bm{v}</tex>$

ですから，

$<tex>\bm{\omega} = -\frac{q\bm{B}}{m}</tex>$

とおいただけと考えればよいのです。 $<tex>\bm{\omega}</tex>$ は結果的には角速度ベクトルとなりますが，解く段階では単に（q>0であれば）一様磁場方向と逆方向を向く定ベクトルと考えればよいということだと思います。以上の議論は徹底してベクトルのみで記述しているので，座標系に依存しない表現となっている点がポイントですね。

Re: 一様磁場中ローレンツ力による円運動　 aintfober - 2012/02/02(Thu) 11:46 No.29820

ああっ…なるほど。それでわかりました。
ωをそのように定められたのは微分方程式(＊)が根拠となるという理解でよろしいのでしょうか。

となると残る(2)(3)式についてですが、(2)は
d|r↓|^2/dt = 2r↓・dr↓/dt =0 (∵(＊)式)
より導けました。これと(1)を合わせることで、軌道が原点を含みω↓に垂直な円軌道に決定されたわけですよね。
(3)式はどう計算すればよいのでしょう？？

Re: 一様磁場中ローレンツ力による円運動　 toorisugari no Hiro - 2012/02/02(Thu) 13:15 No.29821

えっと、割り込んでいいものやら、悩みますが。。。
http://hooktail.maxwell.jp/bbslog/19703.html
で答えた責任として。。。。

(3)の４重積とは
$<tex>(\bm{a}\times\bm{b})\cdot(\bm{c}\times\bm{d})&=(\bm{a}\cdot\bm{c})(\bm{b}\cdot\bm{d})-(\bm{a}\cdot\bm{d})(\bm{b}\cdot\bm{c})</tex>$
のことです。これを用いて
$<tex>\left|\bm{\omega} \times \bm{r}(t)\right|^2 &= \left|\bm{\omega} \times \bm{r}(0)\right|^2</tex>$
を示せばいいです。

４重積の性質は
スカラ３重積の性質
$<tex>\bm{a}\cdot(\bm{b}\times\bm{c}) &= (\bm{a}\times\bm{b})\cdot\bm{c}</tex>$
とベクトル３重積の性質
$<tex>\bm{a}\times(\bm{b}\times\bm{c}) &= (\bm{a}\cdot\bm{c})\bm{b}-(\bm{a}\cdot\bm{b})\bm{c}</tex>$
より導けます。

#もっとも、４重積を使わずに
$<tex>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left| \frac{\mathrm{d}\bm{r}}{\mathrm{d}t}\right|^2&=2\frac{\mathrm{d}^2\bm{r}}{\mathrm{d}t^2}\cdot\frac{\mathrm{d}\bm{r}}{\mathrm{d}t}\\ &=2\left(\bm{\omega}\times\frac{\mathrm{d}\bm{r}}{\mathrm{d}t}\right)\cdot\frac{\mathrm{d}\bm{r}}{\mathrm{d}t}\\ &= 0</tex>$
とした方が簡単ですね。これはあとで気が付きました。

Re: 一様磁場中ローレンツ力による円運動　 Yokkun - 2012/02/02(Thu) 13:58 No.29822

>微分方程式(＊)が根拠となる

というよりも，（＊）はその結果といえるでしょう。単に

$<tex>\bm{\omega} = -\frac{q\bm{B}}{m}</tex>$

と略記したと考えます。すると，

$<tex>\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{v}}{\mathrm{d}t} = \boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{v}</tex>$

積分すると，定ベクトルを $<tex>\boldsymbol{c}</tex>$ として

$<tex>\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{r}}{\mathrm{d}t} = \boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{r}+\boldsymbol{c}</tex>$

$<tex>\boldsymbol{\omega}</tex>$ 方向の初速成分をゼロとすれば，適当に原点を移して

$<tex>\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{r}}{\mathrm{d}t} = \boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{r}</tex>$

とすることができると思います。

toorisugari no Hiroさん，過去ログを読んだとき私も初めは流れが読みとれませんでした。「責任」をとって，しっかりフォローしてください。＾＾；

Re: 一様磁場中ローレンツ力による円運動　 toorisugari no Hiro - 2012/02/02(Thu) 14:32 No.29823

$<tex>\bm{\omega}</tex>$ を定ベクトルと考えるのは「一様磁場」という問題の要請からです。
# 正確には「一様で定常な磁場」とすべきだと思いますが。。。

問題をきちんと書くと
「
一様で定常な磁場 $<tex>\bm{B}</tex>$ のもと、 $<tex>\bm{B}</tex>$ に垂直な初速度を持つ電荷 <tex>q</tex>

で質量

の粒子は円運動を行うことを示せ。
$<tex>m\frac{\mathrm{d}\bm{v}(t)}{\mathrm{d}t} &= q\bm{v}(t)\times\bm{B}\\ \bm{B}\cdot\bm{v}(0) &= 0</tex>$
」

解法
方程式は
$<tex>\frac{\mathrm{d}\bm{v}}{\mathrm{d}t} &= \bm{\omega}\times\bm{v}\qquad \left(\bm{\omega} \equiv - \frac{q\bm{B}}{m}\right)</tex>$
と置き換えられるので、ロドリグの公式により
$<tex>\bm{v}(t) &= \bm{n}(\bm{n}\cdot\bm{v}_0)-\bm{n}\times(\bm{n}\times\bm{v}_0) \cos(\omega t)+(\bm{n}\times\bm{v}_0) \sin(\omega t)\qquad (\bm{\omega} = \omega \bm{n}, |\bm{n}|=1, \bm{v}_0 = \bm{v}(0))\\ &= \bm{v}_0 \cos(\omega t)+(\bm{n}\times\bm{v}_0) \sin(\omega t)\qquad (\because~ \bm{v}_0\cdot\bm{n}=0)</tex>$
となります。積分すれば
$<tex>\bm{r}(t) &= \frac{\bm{v}_0}{\omega} \sin(\omega t)-\left(\bm{n}\times\frac{\bm{v}_0}{\omega}\right) (\cos(\omega t)-1)+\bm{r}(0)</tex>$
がえられます。これは $<tex>\left(\bm{n}\times\frac{\bm{v}_0}{\omega}\right)+\bm{r}(0)</tex>$ を中心とする半径 $<tex>\frac{|\bm{v}_0|}{\omega}</tex>$ の円運動となります。

Re: 一様磁場中ローレンツ力による円運動　 aintfober - 2012/02/02(Thu) 15:52 No.29824

なるほど…ベクトル的な表現が僕にはまだ難しい部分もありますが、(1)～(3)式の中身はよくわかりました。dr↓/dt=ω↓×r↓やロドリグの公式の辺りは、今回の回答を参考にもう一度見直してみたいと思います。
色々と勉強になる内容が多くとてもためになりました。表現が稚拙で終始わかりにくい質問だったと思いますが…お二人の丁寧な回答に大変感謝致します。お付き合い頂きありがとうございました。

Re: 一様磁場中ローレンツ力による円運動　 toorisugari no Hiro - 2012/02/02(Thu) 18:39 No.29825

Yokkunさん

実は、Yokkunさんの考え方はしていませんでした。単に、 $<tex>\bm{v}</tex>$ が原点を含む平面で円運動をすることを導ければ、 $<tex>\bm{r}</tex>$ も適当な点を中心とした円運動を行うことは自明であるというポリシーです。

確かにYokkunさんのやり方だと $<tex>\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{r}}{\mathrm{d}t} = \boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{r}</tex>$ で考えることが素直に理解できます。

ただ、
「
$<tex>\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{r}}{\mathrm{d}t} = \boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{r}+\boldsymbol{c}</tex>$
$<tex>\boldsymbol{\omega}</tex>$ 方向の初速成分をゼロとすれば，適当に原点を移して
$<tex>\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{r}}{\mathrm{d}t} = \boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{r}</tex>$
とすることができると思います。
」
において、「適当に原点を移して」の辺りは少し説明が必要かなとは思います。

Re: 一様磁場中ローレンツ力による円運動　 Yokkun - 2012/02/02(Thu) 21:24 No.29826

はい，全くするどいご指摘です。

正直見逃していて，後から気づき，「 $<tex>\boldsymbol{\omega}</tex>$ 方向の初速成分をゼロとすれば，」だけ付け加えてゴマカシました。

私も同じポリシーで考察を始めたのですが，うっかり運動方程式における $<tex>\bm{v}</tex>$ と $<tex>\bm{r}</tex>$ の交換は難しくないみたいだなあと思って手を出したはよいものの，単に積分定数＝定数ベクトルの違い…これが速度次元であることをすっかり見落としていたのでした。ですから，最初は「適当に原点を移して…と思います。」だけで済ませていました。お恥ずかしい限りです。どう記述すればすっきりするでしょうか？　aintfoberさんの完結宣言が出てしまったので遠慮していましたが，ご指摘いただいたついでに助言をいただければ幸いです。

Re: 一様磁場中ローレンツ力による円運動　 toorisugari no Hiro - 2012/02/02(Thu) 22:23 No.29827

> どう記述すればすっきりするでしょうか？

いや、今の記述が絶妙に「すっきり」しています。

ただ、「 $<tex>\boldsymbol{\omega}</tex>$ 方向の初速成分をゼロとすれば」を付け加えないと「適当に原点を移」せないことに初学者が気づいてくれるかなと思ったわけです。

でも、説明すると長いんですよね。
「
$<tex>\frac{\mathrm{d}\bm{r}}{\mathrm{d}t} &= \bm{\omega}\times\bm{r}+\bm{c}</tex>$
より
$<tex>\bm{c} &= \bm{v}_0 - \bm{\omega}\times\bm{r}_0\\ &= \frac{\bm{\omega}(\bm{\omega}\cdot\bm{v}_0)}{\omega^2} - \bm{\omega}\times\left(\frac{\bm{\omega}\times\bm{v}_0}{\omega^2}\right) - \bm{\omega}\times\bm{r}_0\qquad(\because~ |\bm{a}|^2\bm{x} = \bm{a}(\bm{a}\cdot\bm{x}) - \bm{a}\times(\bm{a}\times\bm{x}))\\ &= - \bm{\omega}\times\left(\bm{r}_0+\frac{\bm{\omega}\times\bm{v}_0}{\omega^2}\right) \qquad(\because~ \bm{\omega}\cdot\bm{v}_0 = 0)</tex>$
となるので、変位
$<tex>\bar{\bm{r}}(t) &\equiv \bm{r}(t) - \left(\bm{r}_0+\frac{\bm{\omega}\times\bm{v}_0}{\omega^2}\right)</tex>$
は
$<tex>\frac{\mathrm{d}\bar{\bm{r}}(t)}{\mathrm{d}t} &= \bm{\omega}\times\bar{\bm{r}}(t)\\ \bar{\bm{r}}(0) &= \left(\frac{\bm{v}_0}{\omega}\right) \times \left(\frac{\bm{\omega}}{\omega}\right) </tex>$
を満たす。
」
こんな感じ。

Re: 一様磁場中ローレンツ力による円運動　 yama - 2012/02/02(Thu) 22:45 No.29828

横から失礼します。
過去ログでは磁場に垂直な速度を持つ場合を扱っているので当然 $<tex>\bm c=0</tex>$ ですね。
今回の場合は初速度が磁場に垂直かどうかはっきり書かれていないようですが、そのように仮定しないと円運動にはなりませんね。
初速度が磁場に垂直とは限らない一般の場合は、磁場に垂直な円運動と磁場方向の等速度運動を合成した運動すなわち螺旋運動になるはずですから。

Re: 一様磁場中ローレンツ力による円運動　 toorisugari no Hiro - 2012/02/02(Thu) 22:52 No.29829

yamaさんらしからぬミス:-)

> 磁場に垂直な速度を持つ場合を扱っているので当然 $<tex>\bm c=0</tex>$ ですね。

ではなく、
$<tex>\bm{c}=\bm{\omega}\times~^\exists \bm{c}'</tex>$
となるだけですよね。

Re: 一様磁場中ローレンツ力による円運動　 yama - 2012/02/02(Thu) 23:17 No.29830

そうですね。間違っていました。
「当然 $<tex>\bm c=0</tex>$ 」ではなくて「原点を適当に取って $<tex>\bm c=0</tex>$ とすることができる。」としないといけなかったですね。

Re: 一様磁場中ローレンツ力による円運動　 Yokkun - 2012/02/03(Fri) 08:56 No.29832

toorisugari no Hiroさん，yamaさん，ありがとうございました。

$<tex>\boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{v}_0</tex>$ の部分が回転半径を決めるわけですね。やはり，ベクトル積を含むベクトル方程式の変形は，なかなか悩ましいです。勉強になりました。

結局のところ， $<tex>\bm{\omega}\cdot\bm{v}_0=0</tex>$ の場合は

$<tex>\bm{c} = \bm{v}_0 - \bm{\omega}\times\bm{r}_0 = 0</tex>$

となるように原点を選ぶことができるということですね。納得できました。

Re: 一様磁場中ローレンツ力による円運動　 toorisugari no Hiro - 2012/02/03(Fri) 12:01 No.29833

ちなみに、動く中心
$<tex>\bm{O} &\equiv \left(\bm{r}_0+\frac{\bm{\omega}\times\bm{v}_0}{\omega^2}\right)+ \frac{\bm{\omega}(\bm{\omega}\cdot\bm{v}_0)}{\omega^2} t</tex>$
に原点をシフト
$<tex>\bar{\bm{r}}(t) &\equiv \bm{r}(t) - \bm{O}</tex>$
することで、 $<tex>\bm{\omega}\cdot\bm{v}_0 \ne 0</tex>$ の場合も
$<tex>\frac{\mathrm{d}\bar{\bm{r}}(t)}{\mathrm{d}t} &= \bm{\omega}\times\bar{\bm{r}}(t)\\ \bar{\bm{r}}(0) &= -\frac{\bm{\omega}\times\bm{v}_0}{\omega^2}</tex>$
とでき、螺旋運動も導けますね。

頭の悪い僕　永瀬範明 - 2012/02/01(Wed) 22:19 No.29816

僕は非常に頭が悪いです。
物理学や化学があまりよく分かりません。
散々，部下に八つ当たりしている。
一生，昇進できない人間です。
誰か私に物理を教えてください。

ガウス　ｈｈｈ - 2012/01/31(Tue) 21:23 No.29810

中心からの距離rのみの関数である体積電荷密度ρで帯電した球（半径R）がある。

（１）原点を中心とする半径ｒの球内の電荷を与える式を書きなさい
（２）半径ｒの球にガウスの定理を適用し帯電球内外の電場を求めよ
（３）（２）の結果から電荷密度が一様である場合の電場を求めよ

ρがrの関数ということはρ（ｒ）として
Q=4π∫ρ（ｒ）*r^2ｄｒ (０～ｒ）
でもρ（ｒ）の具体的な式がないと(２)は解けない気が・・・

お願いします

Re: ガウス　甘泉法師 - 2012/01/31(Tue) 22:23 No.29811

こんにちは。

>でもρ（ｒ）の具体的な式がないと(２)は解けない気が・・・

　いえいえ。なんでもいいんです。
　たとえば原点に全部集まっているとして求めても、球の表面に均一分布するとしてもＱの同じ式になります。　ガウスの定理をあてはめてみてください。

Re: ガウス　ｈｈｈ - 2012/01/31(Tue) 23:05 No.29812

返信ありがとうございます。
ということは（２）の答えとしては（１）のQ（ｒ）を用いて

r<Rの場合は
Q(r)/4πεr^2
r≧Rの場合は
Q(R)/4πεr^2

でいいのでしょうか？
それと（3）はρが一様なので
Q=ρ*(4πr^3)/3

として計算していけばいいのでしょうか？

Re: ガウス　甘泉法師 - 2012/02/01(Wed) 00:28 No.29813

こんにちは。　よいと存じます。

Re: ガウス　ｈｈｈ - 2012/02/01(Wed) 02:26 No.29814

ありがとうございました。

線密度ρの鎖の運動　 DOG - 2012/01/29(Sun) 01:29 No.29802

次々に質問をしてすみません。

机の上にある線密度ρの鎖の一端を持って、一定の速度で鉛直に引き上げる。引き上げられた鎖の長さがxの時、引き上げている力の大きさF'はいくらか？

この問題を
dp/dt = F にのっとって計算すると答えの F'=ρ(xg+v^2)に一致するのですが、

d^2y/dt^2 = F にのっとって計算しようとしたら、vが一定なのでこれの時間微分は0。
だから、
0=F' - ρxg したがって F'=ρxg とでてきますが答えとは一致しません。
運動方程式自体は同じ意味なのにどうして後者の方はダメなのでしょうか？

Re: 線密度ρの鎖の運動　甘泉法師 - 2012/01/29(Sun) 08:18 No.29803

こんにちは。　面白いですね。　

＞　d^2y/dt^2 = F にのっとって計算しようとしたら

うーん...ｙとは？　質量はどこ？

Re: 線密度ρの鎖の運動　 DOG - 2012/01/29(Sun) 11:42 No.29806

甘泉法師さん返答ありがとうございます。

ごめんなさい。質量mが抜けていました。
ここでは質量mは m=ρx ですよね？

たしかにyはどこになりますか？と言われたら・・・長さがあるので、どこにとればいいのか迷ってしまいますね・・・

この場合上端の位置をyに取ればよいでしょうか。

Re: 線密度ρの鎖の運動　甘泉法師 - 2012/01/29(Sun) 14:18 No.29808

こんにちは。

＞この場合上端の位置をyに取ればよいでしょうか。

鎖の高さｈのところの微小部分ｄｈに働く力は張力をＴとして　
Ｔ（ｈ＋ｄｈ）－Ｔ（ｈ）－ρｇｄｈ＝０
Ｔ（ｈ）＝ρｇｈ＋Ｃ

鎖の机から引き上がられるところ（ｈ＝０）だけ　加速度　ｖ/ｄｔ　が働くので力は　ρｄｈ　ｖ/ｄｔ＝ρｖ＾２.　　

Ｔ（０＋ｄｈ）－ρｇｄｈ　＝　Ｔ（０＋）＝　ρｖ＾２.　　ρｇｄｈは微小量なので。Ｔ（０＋）は微小片の高い方での張力。　

これからＣが定まり

Ｔ（ｈ）＝ρ（ｇｈ＋ｖ＾２）

Re: 線密度ρの鎖の運動　 DOG - 2012/01/29(Sun) 20:26 No.29809

甘泉法師さん返答ありがとうございます。
別解を考えていただきありがとうございました。
勉強になりました。

等速円運動　亢袋ｷ - 2012/01/28(Sat) 23:06 No.29800

水平で滑らかな台があり、その上方hの高さに小さな穴を開けた薄い板が固定してある。
その穴に軽くて伸びない糸を通し、その先に質量mの小球を取り付けた。
穴から小球までの糸の長さがhより長くなるようにして、小球を大乗で運動させる。
板の穴は十分小さい。
穴の中心をＯとし、Ｏの鉛直下方の台上の点をＰとする。
空気抵抗は無視できる。重力加速度の大きさをgとする。

穴から小球までの糸の長さを固定して、小球に、Ｐを中心とした半径rの円周上で速さvの等速円運動をさせた
糸をゆっくり引き上げると、小球はある瞬間に台から浮き上がった。
浮き上がる瞬間の回転半径r'を求めよ

N=0となるときだということは分かるのですが、
張力をT,板と糸のなす角をθ,速度をv'として
Tsinθ=mg
Tcosθ=m(v^2/r')
より
r'=(h/g)v^2
を導きましたが、vをどうにもできません
解答ではN=0よりとしか記載されておらず
答えは{(hr^2v^2)/g}^(1/3)でした

ちなみにこれまでの問題で、
糸を固定している状態のときの向心力をＦ=m(v^2/r)として
垂直抗力N=mg-F(h/r)は求めました

どうしたらいいのでしょうか
長くなってしまい申し訳ありません

Re: 等速円運動　甘泉法師 - 2012/01/29(Sun) 08:30 No.29804

　こんにちは。

＞r'=(h/g)v^2
＞を導きましたが、vをどうにもできません

　離陸前後の速度をV,ｖとして角運動量保存則からrV=r'v でしょう。

Re: 等速円運動　亢袋キ - 2012/01/29(Sun) 11:57 No.29807

できました。
ありがとうございました。
面積速度一定という記述があったのでそれを使うのと同じということだと思います。
助かりました。

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