物理のかぎしっぽ数式掲示板

一次元波動方程式の例題　ミキ - 2010/09/03(Fri) 00:05 No.27524

どうもはじめまして、ミキといいます。
リンク先の"1次元波動方程式の例題"で
http://hooktail.sub.jp/mathInPhys/partial/

「たとえば初期状態から x=3.5 メートルの場所で 2.4 秒後の波の高さは -1.3 メートルで， x=-10.2 メートルの場所で 5.9 秒後の波の高さは 2.1 メートルだよ」

とありますが、これはいったいどうやって求めているんですか？どうも基礎的な事が全然分かっていないらしく、困っています。
あたまの悪い質問で申し訳ございませんが、答えていただけるとありがたいです。

Re: 一次元波動方程式の例題　甘泉法師 - 2010/09/03(Fri) 16:21 No.27526

こんにちは。

１
u(x,t)というｘとｔの二つの変数がある式が具体的にあらならば
　たとえばｘ＋ｔとか　ｘｔとか　ｘ＾２＋ｔ＾２とか　ｘ／ｔとか．．．

その式にｘの値とｔの値をいれれはu(x,t)の値が返ってくる。　
　たとえばｘ＝１とｔ＝１を上の例にいれると
　ｘ＋ｔ＝２　ｘｔ＝１　ｘ＾２＋ｔ＾２＝２　ｘ／ｔ＝１．．．

という意味と存じます。

２
>「たとえば初期状態から x=3.5 メートルの場所で 2.4 秒後の波の高さは -1.3 メー
>トルで， x=-10.2 メートルの場所で 5.9 秒後の波の高さは 2.1 メートルだよ」

数値には意味がなく

「たとえば初期状態から x=○○ メートルの場所でＸＸ秒後の波の高さは ◇◇ メートルで， x=●● メートルの場所で □□ 秒後の波の高さは ★★ メートルだよ」

と書いても同じと存じます。

＝甘泉法師＝

Re: 一次元波動方程式の例題　通りすがり - 2010/09/03(Fri) 19:20 No.27528

求めているのではなく、単にその値に仮定しているだけの話です。
一次元の問題なので、波の形は三角関数のサインやコサインを思い浮かべればいいでしょう。
だから、波の高さがサイン＝０を基準にして、場所によって（または時間の経過によって）プラス・マイナスの値になるということを述べているだけです。

輸送定理　 kshkss - 2010/08/31(Tue) 02:10 No.27521

はじめまして、大学３回でテンソル表記の連続体力学を微分形式に書き直そうと躍起になっている者です。
運動量保存における運動量変化の項 $<tex> \frac{\partial \rho v_i v_j}{\partial x_j} </tex>$ がうまくいきません。自分なりの議論を2通り書いてみるのでご指摘お願いします。

輸送定理の対応する項は運動量のLie微分で密度 $<tex>\rho</tex>$ を3形式にとると、、、

＜パターン１＞
運動量を2形式とするとベクトル場 <tex>v</tex>

と $<tex>\rho</tex>$ の内部積(縮約)で表せて、 $<tex> p = i_v \rho </tex>$
このとき、
$<tex>L_v p = i_v d i_v \rho + d(i_v i_v \rho)</tex>$
第2項は <tex>0</tex>

で、第1項から $<tex> v_i \frac{\partial \rho v_j}{\partial x_j} </tex>$ を得る。（係数のみ表記）

＜パターン２＞
運動量を1形式とすると、 $<tex> p = \ast (i_v \rho) </tex>$
このときLie微分は、係数のみ書き出すと、
$<tex> v_j \frac{\partial \rho v_j}{\partial x_i} + v_j \frac{\partial \rho v_i}{\partial x_j} </tex>$

とうまく書き表せません。どこが間違っているのでしょうか？
長くなりましたがよろしくお願いします。

Re: 輸送定理　甘泉法師 - 2010/09/01(Wed) 23:13 No.27522

こんにちは。
Lie微分、1形式、2形式、3形式に通じず、またなにからなにを導きたいのか誤解している可能性大ですが、微分の規則から

(ρｖiｖj),j =ρ,j ｖiｖj + ρｖi,jｖj + ρｖiｖj,j 　　ここで　,jは　ｘｊによる偏微分をあらわす
= ｛（grad ρ）・ｖ +　ρ　（div v）｝ｖ　+ ρ( grad ｖi)・ｖ　

という訳にはいかないのでしょうか。

＝甘泉法師＝

Re: 輸送定理　 toorisugari no Hiro - 2010/09/03(Fri) 16:33 No.27527

シュッツの「物理学における幾何学的方法」(5.15~5.17) http://www.amazon.co.jp/dp/4842702168/ によると、計量が大事なようです。
速度ベクトル $<tex>\bm{v}</tex>$ から計量を元に生成された1-形式 $<tex>\tilde {{v}}</tex>$ を使って
$<tex>\left(\frac{\partial}{\partial t} + \mathcal{L}_{\bm{v}}\right)\tilde {{v}} + \frac{1}{\rho}\tilde{\mathrm{d}} p+ \tilde{\mathrm{d}}\left(\Phi - \frac{1}{2}v^2\right) &=0 \quad(v^2 = \tilde {{v}} (\bm{v})=i_{\bm{v}}\tilde v)</tex>$
のようにEuler方程式が表されています。これと連続の式
$<tex>\left(\frac{\partial}{\partial t} + \mathcal{L}_{\bm{v}}\right)(\rho ~ \tilde{\mathrm{d}}x \wedge \tilde{\mathrm{d}}y \wedge\tilde{\mathrm{d}}z) &= 0</tex>$
を組み合わせれば、運動量保存則も形式的には導出できるかもしれません。

しかし、そもそも、運動量密度を何形式でとればよいのかはわかりません。
1-形式 $<tex>\rho \tilde{v}</tex>$ あるいは3-形式 $<tex>\rho \bm{v} ~ \tilde{\mathrm{d}}x \wedge \tilde{\mathrm{d}}y \wedge\tilde{\mathrm{d}}z</tex>$ のどちらかかなとも思いますが。。。。

速度　物理 - 2010/09/02(Thu) 21:53 No.27523

１；ある物体がＸ軸上を運動している。ある時刻tでの、その物体の位置XがX＝２＋３t－t２乗であるとき、t＝３sでの物体の位置、速度、加速度を求めよ。

２；　　３０m/sで走っていた車がブレーキをかけて減速した。ブレーキをかけ始めてから１００m進むまでにかかる時間と、そこでの速度を求めよ。
　　　

３；　　　ある物体がX軸上を運動してる。ある時刻tでの、その物体の位置XがX＝２＋３t－４t２乗であるとする。物体が移動する向きを変える時刻を求めよ。また、出発地点に戻って来た時の速度を求めよ。

摩擦／追加　 asaikk - 2010/08/07(Sat) 07:36 No.27379

下記No.27378で、記入漏れがあります。
修正がうまくゆかないので、改めて投稿します。
下記URLに課題を記載しております。
http://www.suisui.ne.jp/~asai/doc.pdf

Re: 摩擦／追加　甘泉法師 - 2010/08/07(Sat) 10:47 No.27381

こんにちは。

板に平行な向きの力は
下る向き　mg　sinα
上がる向き　摩擦力　+　ストッパーからの力　
つりあいから
mg　sinα　＝　摩擦力　+　ストッパーからの力　
ストッパーからの力　＝　mg　sinα　－　摩擦力　
ストッパーがなければ滑り落ちること、接触面は静止状態であることから
ストッパーからの力　＝　mg　sinα　－　最大静摩擦力
　　＝　mg　sinα　－　mg　μ cosα　
　　＝　mg　sinα　（　1-μ cot α）

御②と存じます。

＝甘泉法師＝

Re: 摩擦／追加　 ASA - 2010/08/07(Sat) 12:02 No.27383

甘泉法師　さん
　α=0
でストッパーからの力＜0となり変です。

Re: 摩擦／追加　 Yokkun - 2010/08/07(Sat) 12:16 No.27384

>　α=0
>でストッパーからの力＜0となり変です。

前提として，α>θ=atanμ（摩擦角）があるので問題ないのでは…と思います。

Re: 摩擦／追加　 ASA - 2010/08/07(Sat) 13:16 No.27386

　なるほど、No.27378をみるとそのようですね。
　しかし、摩擦係数は変化しますよね。
　安全第一なら摩擦係数0でも崩れないようにストッパーを設けます。
　後、地震対策はしなくてよいのでしょうか？
　(震度に依存するGがかかりますよ)

Re: 摩擦／追加　 asaikk - 2010/08/07(Sat) 15:47 No.27387

甘泉法師さん
ASAさん
Yokkunさん

さっそくコメントありがとうございました。
やはり②なんでしょうね。
物体Ａの滑落する力（m×g×sinα）が静止摩擦力を超える時点で、摩擦に何か質的な変化が生ずるような気がしたので質問させていただきました。

Re: 摩擦／追加　甘泉法師 - 2010/08/07(Sat) 19:41 No.27389

こんにちは。お役にたてたなら幸いです。
　
>物体Ａの滑落する力（m×g×sinα）が静止摩擦力を超える時点で、摩擦に何か質的な変化が生ずるような気がしたので

摩擦の由来を考えると接触面がくっついて動かないか/ずれて動いているかによって、摩擦係数はそれぞれ静摩擦係数/それより小さな動摩擦係数になりますね。
雪崩のように一旦動きはじめたら摩擦ではもう止められません。　

＝甘泉法師＝

Re: 摩擦／追加　 komagatake - 2010/08/25(Wed) 12:02 No.27509

失礼します。

混乱の原因は静止摩擦と静止摩擦係数の食い違いにあります。

静止摩擦をｆ、面に働く垂直抗力をＮとします。
静止摩擦係数をμとします。
ｆ＝μＮ
は一般的には成り立ちません。
これが成り立つのは静止最大摩擦についてです。
斜面の上に物体があってα＜θの場合を考えてみてください。
ｆ＝ｍｇsinα
です。α＝０とすればｆ＝０になります。
静止摩擦係数は関係ありません。
αを大きくしていった時に「ｆ＝μｍｇcosαで決まる　ｆ　が最大です」と言っているだけです。

今の場合、ストッパーから働く力Ｆ　と静止摩擦力　ｆ　と重力の斜面成分ｍｇsinα　が釣り合っているというだけの式しか書くことができません。
Ｆ＋ｆ＝ｍｇsinα

この式でのＦとｆの割り振りは決定できません。
ただ　ｆ＜μｍｇcosαの範囲でＦが変化するということだけは言えそうです。

選択肢の中に正解はないと思います。

α＝０にすればＦ＋ｆ＝０になるだけです。

摩擦の問題ではこういうふううに解が決まらない場面がいくつかあるようです。

前に質問をだしたこととがあります。
高校の物理でよく出てくる問題を少し変更すると解が決まらなくなります。
参考までの改めて書いておきます。

〇水平な床と鉛直な壁があるところに質量ｍ、長さＬの棒を立て懸けます。
床と棒とのなす角度をαとします。
（１）棒と床との間の静止摩擦係数をμとします。棒と壁との間の摩擦は考えなくてもいいものとします。
　　　棒が滑らない時のαの範囲を求めよ。
（２）棒と壁との摩擦係数をμ’とすればどうなるでしょうか。

普通は入試問題でも（１）しか出てきません。
問題を簡単にするための条件かなと思って（２）を考えました。
条件不足で解くことができませんでした。
摩擦係数の大きさに関係なく床と壁とで同時に最大摩擦が成り立つはずだとは一般的には言うことができないからです。
棒の変形のようなものを考えると解くことができるようになるのかもしれませんがきちんとした吟味はできていません。

今回の問題もどういう条件が付け加われば解くことができるようになるかについてはまだよく分かりません。

Re: 摩擦／追加　 Yokkun - 2010/08/25(Wed) 18:56 No.27511

komagatakeさん，こんにちは。

私もkomagatakeさんのような疑問を以前持っていました。もやもやしていたものが整理されたようでありがたく思っています。

私は，この問題では甘泉法師さんがおっしゃっているように，「ストッパーがなければ滑り落ちること、」から，物体は最大摩擦力相当の摩擦力を受けており，不足する分をストッパーが受け持っていると考えてさしつかえないと思いますが，いかがでしょうか？

摩擦角より小さな角度から徐々に傾斜を大きくしていくとします。摩擦角までは，ストッパーが受け持つ力はゼロで，摩擦角を越えると摩擦力は最大摩擦力に達し，それ以上大きくなることができません。したがって，不足の力をストッパーが受け持つ（ただし，垂直抗力が小さくなっていく分，最大摩擦力も小さくなる）というふうに，私は単純に納得しているのですが。ご意見を頂戴したく思います。もちろん，摩擦力はASAさんもおっしゃっているように，ミクロの複雑な過程で引き起こされるものですから単純ではありませんが，高校レベルの理想化を前提として考察をしたいと思います。

Re: 摩擦／追加　 komagatake - 2010/08/25(Wed) 21:23 No.27512

ｙｏｋｋｕｎさま

＞摩擦角までは，ストッパーが受け持つ力はゼロで，

どうしてこういうことを言うことができますか。
もしそうであれば物体はストッパーに接触していないということになります。

小さな隙間があるとします。
摩擦角を超えると滑り落ちます。
ストッパーで止まります。
それで振り出しに戻ります。
ストッパーから働く力と摩擦力との合計が重力の斜面方向成分に等しいという条件だけになります。
摩擦は最大摩擦になっているはずだとどうして言うことができますか。
ストッパーから働く力よりも摩擦力の方が優先しているはずだとどうしていうことができるのですか。

高校レベルであれば、こういう問題は扱わないようにしようということ以外に対応策はないだろうと思います。

私が書いた壁に立てかけた棒の場合の問題も一度やってみてください。

Re: 摩擦／追加　 komagatake - 2010/08/26(Thu) 08:51 No.27513

ばねを使って力を考えてみました。
事情が分かりやすくなるように思います。

ストッパーと物体Ａとの間に自然長Ｌのばね（ばね定数　ｋ）を挟みます。
物体とストッパーの距離をｘとします。
α＜θ　のとき
物体を斜面の上に置けば止まります。
ｘ≧Ｌ　であれば　摩擦力は　ｆ＝ｍｇsinα　です。向きは上向きです。
ばねの存在は関係がありません。
ｘ＜L　でも物体は斜面上に止まります。
ｋ(L－ｘ)＋ｆ＝ｍｇsinα

Ｌ－ｘの最大値は摩擦力が下向きに働いて静止最大摩擦力になる場合に対応します。この時の物体とストッパーの距離をｘoとします。
物体がばねと接触していて斜面上に静止しているという条件であれば
物体をを置く位置は　ｘo≦ｘ＜L　の範囲であればどこでもよい
という結果になります。
ばねから物体に働く力Ｆは
０＜Ｆ≦ｍｇsinα＋ｍｇμcosα
の範囲で変わります。

このばねが小さければｘの範囲の幅は小さくなります。
でも、ばねから働く力の大きさの範囲は変わりません。
床から働く抗力やストッパーから働く力の出所は変位の小さな弾性変形です。
ばねが小さくなれば物体をセットする位置をコントロールするのが難しくなりますから働く力の大きさが定まらないという結果が出てきます。

α＞θ　の場合は上の式が
ｍｇsinα－μｍｇcosα≦Ｆ≦ｍｇsinα＋μｍｇcosα
に変わります。
物体とストッパーの位置関係をコントロールするのが難しいいという事情は同じです。
力の大きさが決まらないという事情も同じです。

こういうのを考えてみましたが如何でしょう。

Re: 摩擦／追加　 Yokkun - 2010/08/26(Thu) 18:44 No.27514

摩擦力と抗力の配分を考えれば，つり合い条件はひとつに定まらないということですね？　その点はおかげさまでよく理解できたと思います。実際斜面とばねばかりを使って，摩擦角を越えた傾斜で実験してみると，よくわかります。ですから，もともとの質問のもとになった問題のような不十分な説明で，選択肢を選べというのは乱暴な話で，正解はないというのも理解できます。しかし，限界値を求めよというのであればそれは可能ですよね？　たとえば，ストッパーの問題も最低限必要なストッパーの強度の問題としては成立するように思われます。

壁と床にたてかけられた棒の問題ですが，これこそは限界を問うものですから，すべりだすのは２つの接触点で摩擦力が最大摩擦力になるときだとして判定できると思うのですが，ご教示ください。機構学の基礎のような分野で複数の摩擦力をあつかう場面は，よく例題としてもとりあげられ，そのような問題では限界はすべての摩擦力が最大摩擦力に達するとして解かれているように記憶しています。多少検索しましたが例示できなくて申し訳ありません。

Re: 摩擦／追加　 ASA - 2010/08/27(Fri) 08:01 No.27515

Yokkunさん

>たとえば，ストッパーの問題も最低限必要なストッパーの強度の問題としては成立するように思われます。
komagatakeさんが解説されている様に
>Ｆ＋ｆ＝ｍｇsinα
>ｆ＜μｍｇcosαの範囲
なので(あと0<ｆと考えられるので)
　No.27386で述べたように
>安全第一なら摩擦係数0でも崩れないようにストッパーを設けます。
Ｆmax＝ｍｇsinα
が答えとなります(pdfでの①に相当)。
しかし、これも述べましたが工学的安全性を考慮するなら耐震性をも考慮してストッパーの強度を決定する必要があります。

Re: 摩擦／追加　 Yokkun - 2010/08/27(Fri) 19:47 No.27516

ASAさん，ご教示ありがとうございます。安全幅の件，よく理解できました。

Re: 摩擦／追加　 komagatake - 2010/08/28(Sat) 12:30 No.27517

＞>Ｆ＋ｆ＝ｍｇsinα
＞>ｆ＜μｍｇcosαの範囲
＞なので(あと0<ｆと考えられるので)

ばねを間に挟んだ場合で考えると
０＜ｆ＜μｍｇcosα
ではなくて
－μｍｇcosα＜ｆ＜μｍｇcosα
になります。
ばねを押し込んだ状態で釣り合っているという条件ですから摩擦力が逆向きに働いていても釣り合うのです。
斜面の上で物体をストッパーでとめている場合でも同じでしょう。
このことから考えるとストッパーにかかる力の最大値は　
μｍｇcosα　ではなくて、２μｍｇcoｓα　になります。

いずれにしても釣り合いで考えていますから静荷重です。

落下してきたものを止める場合は衝突の問題になりますから
耐荷重の大きさは変わってくるでしょう。

Re: 摩擦／追加　 ASA - 2010/08/28(Sat) 13:45 No.27518

komagatakeさん
>このことから考えるとストッパーにかかる力の最大値は　
>μｍｇcosα　ではなくて、２μｍｇcoｓα　になります。
　これは、Ｆmax＝ｍｇ(sinα+μcoｓα)の間違いでしょう。
　(でないと、話が通じません)
ばねモデルで、ばねを押し込んだ状態にするためには、何らかの力が働かなければいけません。
　ある一定の傾斜角αを持つ斜面に、ロープか何かで荷物を引き上げ(または、引き下げ)、荷物が動かないようにストッパーを置き、その後ロープをゆっくり解く。このときのストッパーの耐荷重をもとめると推測しました(工場での荷積み/荷降ろしを想定)。
　このケースでは、ばねを押し込んだ状態にするための力が特にないので、f>0と条件をつけました。
(荷物の引き上げ時に、ロープに余分なテンションがあって、切断とかで急激にロープを取り除く場合は話が別です。
このときは、動摩擦係数μd、つまりｍｇμd coｓαの余分なテンションが解放されるので、これがストッパーにかかる可能性がありますね。)

Re: 摩擦／追加　 komagatake - 2010/08/29(Sun) 12:46 No.27519

ＡＳＡさん

＞＞μｍｇcosα　ではなくて、２μｍｇcoｓα　になります。
＞　これは、Ｆmax＝ｍｇ(sinα+μcoｓα)の間違いでしょう。

２ｍｇcosα　はおかしいですね。
すみませんでした。

私が間にばねを挟んだ場合を考えたのはストッパーと物体との間に働く力の大きさを評価するためです。マクロなばねを挟んだ場合であれば高校生でも解くことができる問題になります。ミクロなばねだとするとストッパーの問題になります。
力の大きさがどうして不定になるかの理由が分かりました。
不足している変数は弾性変形の変位の大きさです。
ストッパーと物体の位置関係からこの変位をコントロールすることができないからです。普通の問題で出てくるような壁からの抗力とか床からの抗力の場合、変形の大きさは多分0.1mmの程度、またはそれ以下でしょう。物体とストッパーの接触状態をこの精度でコントロールすることは不可能です。でも接触状態はこの０．１ｍｍで大きく変わりますから働く力も大きく変わります。
ストッパーに接するように物体を置くという場合、たいていは小さな落とし込みをやっています。静かにロープを放したからと言ってストッパーとの接触状態が決まるいうわけではありません。Ｆ＝０の状態で荷物を止めるなんてこともできません。ストッパーに接触したかなという感触で手を離しているのですからかなりの幅があります。

静止摩擦力は
－μｍｇcosα＜ｆ＜μｍｇcosα
の範囲で変わっているだろうとせざるを得なくなります。

Re: 摩擦／追加　 ASA - 2010/08/29(Sun) 14:11 No.27520

>静かにロープを放したからと言ってストッパーとの接触状態が決まるいうわけではありません。Ｆ＝０の状態で荷物を止めるなんてこともできません。ストッパーに接触したかなという感触で手を離しているのですからかなりの幅があります。

ここの過程がよく分からないです。
詳細な説明をお願いします。
動摩擦係数μd分を余分な力で引き上げますよね。
一般に静止摩擦係数μは、動摩擦係数μdより大きいですよね。
この差分相当の力は、一体どこから生じるのかが分かりません。

>Ｆ＝０の状態で荷物を止めるなんてこともできません。
　ロープを緩めて、荷物が静止した状態を作りだせば、F=0になるのではないですか？
(動摩擦係数μd分の余分な力は、荷物が静止した状態では、摩擦境界面での緩和過程で十分時間がたてば0になるとかんがえますけど）
　問題は、そのような作業手順を設定したとしても、摩擦境界面の落ち着き(微小振動やらの各種揺らぎ生じる)で静止摩擦係数μが変化する分があることです。
　この変化の最大がμ=0のケースと考えました。
やはり前に述べたように
>ばねを押し込んだ状態にするためには、何らかの力が働かなければいけません。
それがどのようなものであるのか、ちゃんと説明されないと納得できません。
(地震のような外力は、別途考慮しなければならないと述べました。これは静止摩擦係数μとは別途の話ですね。)

>静止摩擦力は、－μｍｇcosα＜ｆ＜μｍｇcosαの範囲で変わっているだろうとせざるを得なくなります。
　一般論はそうなんですが、過程をちゃんと指定したなら取りうる範囲はかわります。
　磁化のヒステリシス問題と同様です(外場0の時の磁化は、一般に残留磁化分不定(正負取りえる)。しかし、磁性体(応答性能は既知)の初期状態を与え、かつ外場の時間的変化をちゃんと指定したなら、当該過程で外場0のときの磁化は決定される。)
　例えば、初期残留磁化0の強磁性体で、外部磁場Hの変化が常に正なら外場0に戻した時の残留磁化Mも正であり、負になりません(あたりまえですけど）。
　

２次元ＣＡＤを利用しての慣性モーメントの算出　宮のたぬき - 2010/08/18(Wed) 18:22 No.27491

　60近くの年寄りですが、投稿させていただきます。
　10年程前のことですが、２次元ＣＡＤを用いての機械設計の最中に、慣性モーメントの算出にＣＡＤの計測機能を用いるアイディアを得ました。

(質問１)
　密度 $<tex>\rho</tex>$ 、厚さ <tex>t</tex>

が一定という板状物体(ＸＹ平面)の慣性モーメントを材料力学的断面２次モーメントで書き表す事に、問題は無いでしょうか？

$<tex>J_Z &= \frac{M}{S}(I_X + I_Y)</tex>$
<tex>J_Z</tex>

: Ｚ軸周りの慣性モーメント(板状物体の重心を通り、ＸＹに垂直なＺ軸）
<tex>I_X</tex>

: Ｘ軸周りの断面２次モーメント
<tex>I_Y</tex>

: Ｙ軸周りの　　　〃
<tex>M</tex>

: 物体の質量

: 物体のＸＹ平面での面積

(質問２)
　慣性モーメントに関する「トンガリさんのレス」(2008/01/29)は上記の質問の式と同じ事を表現しているのでしょうか？

　ttp://hooktail.maxwell.jp/bbslog/19310.html

(質問３)
今回のように慣性モーメントを断面２次モーメントで書き表わす式はどこかの参考書・文献に記載されているのでしょうか？

(追記)
　上記の計算のアイディアを得た後、大学教養課程の微積分の参考書をもとに計算式を導き出したのですが、参考書は紛失してしまうし、自分で展開した途中の方程式も半ば理解できない状態となっています。
　高校卒業程度の理解レベルとしてアドバイス願います。

Re: ２次元ＣＡＤを利用しての慣性モーメントの算出　甘泉法師 - 2010/08/19(Thu) 10:49 No.27493

こんにちは。

> 密度 $<tex>\rho</tex>$ 、厚さ <tex>t</tex>

が一定という板状物体(ＸＹ平面)の慣性モーメント

板がたてa よこｂとしｚ軸を四角形の中心を通せば、そのまわりの慣性モーメントは

ρｔ∫ｄｘ∫ｄｙ（ｘ＾２＋ｙ＾２）
＝ρｔ　∫ｄｘ［ｘ＾2ｙ　+　ｙ＾３/３］
＝ρｔ　∫ｄｘ (ｘ＾2ａ　+　a＾３/１２)
＝ρｔ　(ａｂ＾３ /１２　+　ｂa＾３/１２)
＝ρｔ　ａｂ(ａ＾２ +　ｂ＾２)/１２
＝Ｍ(ａ＾２ +　ｂ＾２)/１２

と存じます。　ご関心とあっているでしょうか。

＝甘泉法師＝

Re: ２次元ＣＡＤを利用しての慣性モーメントの算出　宮のたぬき - 2010/08/19(Thu) 16:32 No.27494

こんにちは。

　質問の仕方がまずく、誤解を招いてしまったようで申し訳ありません。

　質問１は、密度 $<tex>\rho</tex>$ 、厚さ <tex>t</tex>

が一定という条件を付加すれば、公式として記載されているような定型形状以外の任意形状の板状物体の慣性モーメントを質問１の計算式で求めることが出来ると思うが、正しいでしょうか？という内容です。
(勿論、公式にある定型形状も含み応用できると思います)

　ちなみに、２次元ＣＡＤには任意の平面形状に対して断面２次モーメントや面積を算出する機能が付属されております。従って質問１の計算式が正しければ、面倒な計算をせずとも容易に慣性モーメントが求められるのです。

Re: ２次元ＣＡＤを利用しての慣性モーメントの算出　甘泉法師 - 2010/08/19(Thu) 19:53 No.27495

こんにちは。

>(勿論、公式にある定型形状も含み応用できると思います)

先の四角の板について御式の右辺を計算してみます。

M/S Ix　= M/ab ∫ｄｙ∫ｄｚ（y＾２＋ｚ＾２）＝ M (a^3ｔ + ａｔ^3)/12ab＝M ｔ(ａ^２ + ｔ^２)/１２ｂ
M/S Iy　= M/ab ∫ｄｘ∫ｄｚ（ｘ＾２＋ｚ＾２）＝ M (ｂ^3t +ｂｔ^3)/12ab＝M ｔ(ｂ^２ + ｔ^２)/１２ａ

右辺≠左辺。残念ながら御式は成り立たないようです。

＝甘泉法師＝

Re: ２次元ＣＡＤを利用しての慣性モーメントの算出　宮のたぬき - 2010/08/24(Tue) 18:00 No.27505

　甘泉法師様

　2010/08/19 No.27495のレスについてですが、機械工学系材料力学での公式集では、辺の長さa、bの長方形の断面２次モーメントは、以下のように記載されています。
$<tex>I_X &= \frac{a^3b}{12}</tex>$
$<tex>I_Y &= \frac{ab^3}{12}</tex>$
　これを私の質問１の式にあてはめると甘泉法師さんが最初に算出した慣性モーメントと等しくなります。

　いま一度、機械工学系材料力学での断面２次モーメントの定義式及び定義式の持つ物理的意味を確認していただき、質問１の式が成立していないか調査していただけないでしょうか？

（宮のたぬき）

Re: ２次元ＣＡＤを利用しての慣性モーメントの算出　甘泉法師 - 2010/08/24(Tue) 20:19 No.27507

こんにちは。わたしが断面２次モーメントの定義を誤って解していました。

四角板についての公式の導出を
http://www.archi.hiro.kindai.ac.jp/lecdocument/zairyorikigaku/zairiki_5.pdf
の計算を見て確かめました。

改めて、
厚さｔがｚ方向の板状物体のｚ軸慣性モーメントは
Jz　＝　ρｔ　∫dx ∫dy　（ｘ＾２　＋　ｙ＾２）　ここで面要素ｄｘｄｙは板上に限定　
　　＝　ρｔ　∫dx ∫dy　ｘ＾２　+　ρｔ　∫dx ∫dy　ｙ＾２　ここで面要素ｄｘｄｙは板上に限定
　　＝　Ｍ/S　　∫dx ∫dy　ｘ＾２　+　Ｍ/S　∫dx ∫dy　ｙ＾２　ここで面要素ｄｘｄｙは板上に限定
　　＝　Ｍ/S　Iｙ　＋　Ｍ/S　Iｘ
求める式は証明されました。

不明な点はご質問ください。

＝甘泉法師＝

Re: ２次元ＣＡＤを利用しての慣性モーメントの算出　宮のたぬき - 2010/08/25(Wed) 12:34 No.27510

　甘泉法師様

$<tex>J_Z &= \frac{M}{S}(I_X + I_Y)</tex>$
が、成立する事を証明していただきありがとうございました。
10年来のテーマについて、私の独りよがりでないと分かり、安心しほっとしています。
本当にありがとうございました。

（宮のたぬき）

無題　たま - 2010/08/22(Sun) 17:54 No.27503

先ほど質問した内容については、過去のログでありましたトビラ．．さんの書込 (2009/04/18(Sat) 22:00)と同じ内容です。
とびらさんの場合については自身で間違いに気づいたらしくできたようですが・・・
途中の計算式も、ご教授お願いします。

ポアソン括弧の計算　たま - 2010/08/22(Sun) 17:50 No.27502

ポアソン括弧の計算
（A、π）は正準共役変数ペアーです。
｛A(x),π(y)｝＝δ（x-y）のとき、｛A(x),（ラウンドπ(y)）π(y)｝の計算方法が分かりません。計算方法を教えてください。
お願いします・

水素原子の励起　 Ekinetic - 2010/08/11(Wed) 09:54 No.27425

啓林館の物理の教科書の問題です。

基底状態の水素原子に、10.2eV の光子を当てると、量子数がいくつの定常状態に励起するか。また、11.2eV の光子を当てたときはどうか。

答えは、「量子数２、励起できない」です。

量子数２の励起状態と基底状態のエネルギーの差は 10.2eV です。

11.2eV の光子は、 10.2eV のエネルギーだけ使って水素原子を励起し、（コンプトン効果のように）波長の長い光子となって跳び去る.

といったことはないのでしょうか？

Re: 水素原子の励起　甘泉法師 - 2010/08/13(Fri) 08:17 No.27447

こんにちは。

11.2eVのひとつの光子と、それぞれ10.2ｅＶと1ｅＶのふたつの光子は異なるので吸収されません。
5.1ｅＶのふたつの光子なら励起が可能です（２光子過程）。

＝甘泉法師＝

Re: 水素原子の励起　 ASA - 2010/08/13(Fri) 12:01 No.27448

甘泉法師さん

>5.1ｅＶのふたつの光子なら励起が可能です（２光子過程）。
　これ違いますよ。普通、基底状態の水素原子には、非線形作用はないと考えられているので、多光子による励起はないです。(分極能率による時間に依存した摂動論のごとく)。

Re: 水素原子の励起　甘泉法師 - 2010/08/13(Fri) 18:55 No.27449

こんにちは。　

いい加減な答えですみません。
あらためて

＞答えは、「量子数２、励起できない」です。

　大学の受験勉強としては正解と思います。

＞11.2eV の光子は、 10.2eV のエネルギーだけ使って水素原子を励起し、（コンプトン効果のように）波長の長い光子とな
＞って跳び去る.
＞といったことはないのでしょうか？

　ふつうの状況では無視できますが、光がレーザーで非常に強いなどの場合は多数の光子のかかわるプロセスとして小さな確率ですがおきると考えます。

PS1 もう35年も前のレビューで古いと思いますが　http://ci.nii.ac.jp/naid/110002073449

＝甘泉法師＝

Re: 水素原子の励起　 ASA - 2010/08/14(Sat) 05:48 No.27451

>ふつうの状況では無視できますが、光がレーザーで非常に強いなどの場合は多数の光子のかかわるプロセスとして小さな確率ですがおきると考えます。
理論的可能性としていくつかの計算があるようですが、問題点も指摘されてますね。
単一周波数の光を単一の原子に当てた場合、原子の状態が混成することはないので、多光子による１S→１Pの遷移は、ありません。
　また、実験でも確認されてないようです。
　水素分子(とか金属水素)なら、２対と異なり多体なので状態が混じり、多光子による１S→１Pの遷移が観測されてるのかもしれませんが。
(電子励起状態は観測できなかったとの実験結果：http://www.ils.uec.ac.jp/99y/M-y/MOhri-y.pdf)

Re: 水素原子の励起　甘泉法師 - 2010/08/14(Sat) 10:25 No.27453

こんにちは。

＞多光子による１S→１Pの遷移は、ありません。

ありがとうございます。
勉強のため教えてください。問題の１０．２ｅＶ＝　13.6（１/１＾２　-１/２＾２）つまり１Ｓ→２Ｓと思いますがこちらはどうでしょうか。

＝甘泉法師＝

Re: 水素原子の励起　 ASA - 2010/08/14(Sat) 13:47 No.27456

>１Ｓ→２Ｓと思いますがこちらはどうでしょうか。
これも、同一エネルギーの多光子による遷移はないと考えます。
１Sと１Pが縮退なくあるエネルギー差がある場合などで、リアルな状態(例：１P)を経由する異なるエネルギーの多光子過程はあると考えますけど(１Ｓ→１P→２Ｓ)

Re: 水素原子の励起　 yama - 2010/08/14(Sat) 14:24 No.27458

そもそも1Pという状態は存在しないと思います。

最初の問題は、「基底状態の水素原子に、10.2eV の光子を当てる」ということなので、１個の光子による遷移の問題ですね。
この場合、光子のスピンは１なので1S→2Sでは角運動量が保存しません。
従って1S→2Pの遷移が起きると思います。

Re: 水素原子の励起　 ASA - 2010/08/14(Sat) 16:52 No.27459

>1Pという状態は存在しないと思います。
　そうですね。n=0からカウントしたから、違ってますね。

>光子のスピンは１なので1S→2Sでは角運動量が保存しません。
　電子スピンが１/２,-１/２をとるように,
　光子のスピンは、１,０,-１を取るのでは？
　スピン０光子とすれば矛盾しませんよ。
　

Re: 水素原子の励起　 yama - 2010/08/14(Sat) 18:53 No.27460

>光子のスピンは、１,０,-１を取るのでは？

これはスピンのz成分のことだと思いますが、z軸のとりかたによって違いがあります。
光子の運動方向にz軸をとった場合は、z成分は１か-1しかありません。光子には静止系が存在しないからです。

いずれにしても、軌道角運動量のz成分だけに注目すれば、遷移後には $<tex>\hbar,0,-\hbar</tex>$ の値をとることができます。すなわち磁気量子数mは1,0,-1をとることができます。
しかし軌道角運動量の２乗 $<tex>l(l+1)\hbar^2</tex>$ は0になることはなく、方位量子数は <tex>l=1</tex>

をとるだけです。すなわちP軌道です。

Re: 水素原子の励起　 ASA - 2010/08/14(Sat) 21:45 No.27461

>すなわちP軌道です。
　これって本当ですか？
　古典対応が取れないきがしますが。
　おっしゃることは、どのテキストに記述されているのでしょうか教えて下さい。
　特に、吸収過程で光子のスピン(|l|=1)と軌道角運動量との和が保存されるというくだりについてです。
　(wikiには、"量子力学的には光は光子である。光子スピンには +1, −1 の2つの状態があり、それぞれ円偏光の右旋光、左旋光と対応している。"とありますね。直線偏光は、0に対応するものと認識してましたが、yamaさんの認識だと直線偏光に対する量子論的対応物は、存在しないということでよろしいのでしょうか？)
　たしか、直線偏光による吸収でS状態間遷移が有ったような気がします。
　逆に、2S状態からは、基底状態である1Sに遷移できないことになり、矛盾が生じます(ここで述べている多光子過程は、遷移エネルギーはそれぞれの光子のエネルギーhωiの和で示されるものです)。

Re: 水素原子の励起　 yama - 2010/08/14(Sat) 22:52 No.27462

直線偏光は、互いに逆向きの円偏光の重ね合わせです。
この状態の光子の角運動量の運動方向成分を測定すれば、個々の測定については $<tex>\hbar</tex>$ か $<tex>-\hbar</tex>$ が得られ、0が得られることはありません。
しかし多数回測定して平均をとれば0になるでしょう。

偏光については、ランダウ・リフシッツ「相対論的量子力学1」§８に説明があり、「このようにして、光子の角運動量のその運動方向への投影は、二つの値（±1）しかとりえない。0の値は不可能である。」と記述されています。

また、多くの量子力学のテキストでは、電磁波を（量子化しないで）摂動として扱って電磁波による遷移についての選択規則を導き、 <tex>l</tex>

の値の変化が±1であるような遷移だけが可能であるとしています。これは光子のスピンが１であるからだと解釈されます。

なお、このことは１個の光子による遷移についてであって、多数の光子が関係する遷移についてはこの限りではありません。

Re:これって本当ですか？　甘泉法師 - 2010/08/14(Sat) 23:47 No.27463

こんにちは。

>>１Ｓ→２Ｓと思いますがこちらはどうでしょうか。
>これも、同一エネルギーの多光子による遷移はないと考えます。

＞逆に、2S状態からは、基底状態である1Sに遷移できないことになり、矛盾が生じます

１光子過程は遷移則　ΔL＝±１から　nS←→mSは禁じられ、nS←→mPは可。
２光子過程なら　ΔL＝０のnＳ←→mＳが可でもよいように考えますが...。

＝甘泉法師＝

Re:これって本当ですか？　 ASA - 2010/08/15(Sun) 06:38 No.27465

yama さん

>直線偏光は、互いに逆向きの円偏光の重ね合わせです。
　そうですよね。
>この状態の光子の角運動量の運動方向成分を測定すれば、
　ところで、光子の"角運動量の運動方向成分を測定"ってどうするのですか？
>個々の測定についてはかが得られ、0が得られることはありません。
　光子は、各々を区別できません。
だから、一回の測定でも
<ψ_(1) +ψ_(-1) >
期待値として0が得られることになります。
重ね合わせ状態の測定における基本的部分です。

>多数回測定して平均をとれば0になるでしょう。
なので、これは間違い。

>偏光については、
　光子の自由度2の話と、直接偏光は結びつきません。
なにせ偏光はマクロ量ですから。

>電磁波を（量子化しないで）摂動として扱って電磁波による遷移についての選択規則を導き、の値の変化が±1であるような遷移だけが可能であるとしています。
相互作用P~=p~+eA~でp~・A~のみを考慮でそう説明されてます。
しかし、A~・A~が無視できないとその選択規則は導けません。
古典対応では電気双極子近似(p~・r~)相当ですが、電気4重極子とか磁気双極子とかがあり、これはまたその選択規則と違います。

>これは光子のスピンが１であるからだと解釈されます。
　こういう解釈が述べられたテキストを紹介して欲しかったわけですが、これはできないということでよろしいでしょうか？

甘泉法師　さん
>２光子過程なら　ΔL＝０のＳ←→Ｓが可でもよいように考えますが...。
　多光子過程は、hωiの和の話のはずでは？
　2光子過程なら2hωの吸収過程を意味します。
　生成消滅スキームにおける２光子関与とは違います。
　
状態1：　陽子スピン(上)と電子スピン(上)
状態2-1：陽子スピン(下)と電子スピン(上)
状態2-2：陽子スピン(上)と電子スピン(下)

　状態1から状態2への変化でスピン変化量は-h。
1光子関与(スピン(-h)消滅)でも、トータルスピンは変らないですね。

　そもそも光子は、数が不定です。
なので
>最初の問題は、「基底状態の水素原子に、10.2eV の光子を当てる」ということなので、１個の光子による遷移の問題ですね。
　最初の問題を生成消滅スキームにおける1光子関与と、看做すことが変です。

Re:生成消滅スキームにおける２光子関与　甘泉法師 - 2010/08/15(Sun) 10:35 No.27467

こんにちは。

ASAさん
1
＞生成消滅スキームにおける２光子関与

＞生成消滅スキームにおける１光子関与

ありがとうございます。　
これらはどういうものでしょう。原子核と電子のスピンも関係するのでしょうか。
専門用語がわからず問題の水素原子のｎ＝１，２間の状態遷移との関係を知りたくお尋ねします。

2
>>光子のスピンは１なので1S→2Sでは角運動量が保存しません。
>　電子スピンが１/２,-１/２をとるように,
>　光子のスピンは、１,０,-１を取るのでは？
>光子のスピンは１なので1S→2Sでは角運動量が保存しません。
>　スピン０光子とすれば矛盾しませんよ。

偏光面の垂直なふたつの直線偏光状態（あるいは右旋光と左旋光状態）のほかにもうひとつ、これらと直交する状態があるのですか。

＝甘泉法師＝

Re:生成消滅スキームにおける２光子関与　 yama - 2010/08/16(Mon) 01:11 No.27469

>ところで、光子の"角運動量の運動方向成分を測定"ってどうするのですか？

スピンの運動量方向成分を測定するということです。
どのような装置を用いてどのようにして測定するのかといった具体的な方法については残念ながら承知しておりません。

>光子は、各々を区別できません。
>だから、一回の測定でも
><ψ_(1) +ψ_(-1) >
>期待値として0が得られることになります。

測定によって得られるのは、その演算子の固有値のうちのどれか１つの値であって固有値以外の値が得られることはありません、
固有値が１と-1の２つしかなければ、１回の測定によって得られるのは１か-1のどちらかであって0が得られることはありません。１と-1が得られる確率がどちらも1/2であれば、期待値は0になりますが、この値が１回の測定値として得られるわけではありません。
電子の場合を考えたほうが分かりやすいかもしれません。
電子スピンのz成分の固有値は1/2と-1/2の２つだけです。それぞれの固有状態を|1/2>および|-1/2>とし、次のような重ね合わせ状態を考えます。
$<tex>|\phi\rangle=\frac{1}{\sqrt 2}\left(\mid\frac{1}{2}\rangle+\mid-\frac{1}{2}\rangle\right)</tex>$
この場合、測定値として1/2が得られる確率と-1/2が得られる確率はどちらも1/2なので期待値は0になります。しかし１回の測定値として0が得られるわけではありません。

>古典対応では電気双極子近似(p~・r~)相当ですが、電気4重極子とか磁気双極子とかがあり、これはまたその選択規則と違います。

<tex>l</tex>

の値の変化が±1以外の値をとる場合は２個以上の光子が関与すると考えることができます。

>>これは光子のスピンが１であるからだと解釈されます。
>こういう解釈が述べられたテキストを紹介して欲しかったわけですが、これはできないということでよろしいでしょうか？

倉本義夫・江澤潤一「量子力学」では、1sと2pの間の遷移について説明してあります。その一部分を引用しておきます。

>1s状態の角運動量は0なので、始状態の2p電子がもつ角運動量は光に移行せねばならない。この角運動量の担い手を光子のスピンと解釈する。すなわち、円偏光の光子は $<tex>l=1,m=\pm 1</tex>$ のスピンをもつ。直線偏光の光子は左向きと右向きの円偏光の重ね合わせであり、スピンの固有状態ではない。注意すべきことは、光子のスピンは１であるが、その成分は３つではなく、 $<tex>m=\pm 1</tex>$ の２つだけだということである。これは横波の制限と同等である。換言すると $<tex>\bm k\parallel\hat z</tex>$ の光子は、直線偏光であっても <tex>m=0</tex>

の成分はもたない。一方、波数ベクトル $<tex>\bm k</tex>$ がx軸と平行な場合は <tex>m=0</tex>

に対応するが、光子の量子化軸は進行方向でないことに注意する。
　光の吸収は、放出の逆過程である、もっとも簡単な例として1s状態にある水素原子が、光を吸収して2p状態に遷移する場合を考えよう。z軸に沿って入射する円偏光を吸収する場合には、角運動量の保存から $<tex>l=1,m=\pm 1</tex>$ の状態が電子の終状態になる。また、直線偏光の場合には、２つの円偏光の重ね合わせと考えれば上記と同じで <tex>m=0</tex>

の終状態は許されない。しかし、入射方向をx軸にとれば、z軸方向に偏光した光は <tex>m=0</tex>

の終状態をもたらす。

>そもそも光子は、数が不定です。
>なので
>>最初の問題は、「基底状態の水素原子に、10.2eV の光子を当てる」ということなので、１個の光子による遷移の問題ですね。
>　最初の問題を生成消滅スキームにおける1光子関与と、看做すことが変です。

不定数個の光子があったとしても遷移に関与するのは１個だけであり、そのように解釈すれば解答と矛盾しないと考えたのですが、それは間違いでしょうか？
間違いだとしたら、正しくはどのように解釈すべきでしょうか？

Re:生成消滅スキームにおける２光子関与　 ASA - 2010/08/16(Mon) 06:27 No.27470

>どのような装置を用いてどのようにして測定するのかといった具体的な方法については残念ながら承知しておりません。
　ならば説得力を欠きますね。

>しかし１回の測定値として0が得られるわけではありません。
　１つの電子を区別した場合ですね。N個の電子の重ね合わせ状態で、その各々の電子を区別できない時、一回の測定でどのような値が測定値が得られるのでしょうか？どう考えているのか述べてください。(自分はほぼ0と考えます)

>z軸方向に偏光した光はm=0の終状態をもたらす。
結局、l=1,m=0を終状態とする遷移が可能と述べているわけですね。
光子の量子化軸を無視すれば、m=1,0,-1を持つとの解釈が成立しますね。
　引用の"倉本義夫・江澤潤一「量子力学」"での、数式的な吸収放射の説明は、P~=p~+eA~を採用した説明ですか、それとも電気双極子のみを取り入れたもので説明しているのか、その他の説明を採用しているのか、どれでしょう？
　相互作用ラグラジアンを与えて、そこから、物質系の角運動量と電磁場のスピンとの和が保存するというのを導出しいるものを期待します。(角運動量の担い手が光子のスピンとの解釈を正当化する論理展開として)

>不定数個の光子があったとしても遷移に関与するのは１個だけであり、そのように解釈すれば解答と矛盾しないと考えたのですが、それは間違いでしょうか？
　非線形効果による多光子遷移(甘泉法師さんNo.27447)を話題にしてますから、遷移に関与するのは１個だけと限定はできないです。

　ちなみに、2S→1S遷移(光子を放出する基底状態への遷移)は、起こらないと考えているのでしょうか？

Re:非線形効果による多光子遷移　甘泉法師 - 2010/08/16(Mon) 08:19 No.27471

こんにちは。

>非線形効果による多光子遷移(甘泉法師さんNo.27447)を話題にしてますから、

この番号のわたしの発言は２行だけです。「非線形効果による多光子遷移」の文言はありません。どういう非線形効果なのかわからず解説していただけるとありがたいです。

＝甘泉法師＝

Re:非線形効果による多光子遷移　 yama - 2010/08/16(Mon) 11:28 No.27472

ASAさんは光子のスピンは測定できないというお考えなのでしょうか？
量子電気力学では光子のスピンは（原理的には）測定可能なものとして扱われているので、もし測定不可能であれば量子電気力学の基礎が揺らぐことになりますね。
実際に測定するのは難しい面もあるようですが

http://www.sciencedirect.com/science?_ob=ArticleURL&_udi=B6TVM-468
0KPC-C&_user=10&_coverDate=08%2F05%2F2002&_rdoc=1&_fmt
=high&_orig=search&_sort=d&_docanchor=&view=c&_sea
rchStrId=1431478901&_rerunOrigin=google&_acct=C000050221&_
version=1&_urlVersion=0&_userid=10&md5=4ab95d055a1e73f5050
b6695b9c82cc6

においては
We use this relationship to construct an interferometer which determines the spin of a single photon and of a photon pair from a parametric down conversion source.
と書かれていますので、干渉計を用いて１個の光子のスピンが測定できるということでしょう。

>１つの電子を区別した場合ですね。N個の電子の重ね合わせ状態で、その各々の電子を区別できない時、一回の測定でどのような値が測定値が得られるのでしょうか？どう考えているのか述べてください。(自分はほぼ0と考えます)

N個の電子の全スピンを測定する場合は、ほぼ0になるでしょうね。
しかしもともとは１個の光子による遷移を問題としているので、１個の光子のスピンを考えていたわけです。（複数個の光子の重ね合わせ状態を考えたわけではありません。直線偏光が円偏光の重ね合わせであるというのも１個の光子についての話です。）
光子が区別できないからといって、全スピンしか測定できず、１個の光子のスピンは測定できないというわけではありません。もちろん全部の光子を区別した上で特定の１個を選び出してそのスピンを測定するということではなく、測定器に入ってくる（直線偏光の）光子のスピンを次々に測定するということです。（１度に複数個の光子は入ってこないものとします。）
運動方向のスピン成分を測定すれば、それぞれの測定値は１か-1であって、0が得られることはなく、多数回の測定値を平均すればほぼ0になるでしょう。

>結局、l=1,m=0を終状態とする遷移が可能と述べているわけですね。
>光子の量子化軸を無視すれば、m=1,0,-1を持つとの解釈が成立しますね。

無条件で可能というわけではありませんが、進行方向に対する量子化軸のとりかたによっては可能ということですね。
この場合でも <tex>l</tex>

の値は１だけ変化しているというのが重要なところです。

>引用の"倉本義夫・江澤潤一「量子力学」"での、数式的な吸収放射の説明は、P~=p~+eA~を採用した説明ですか、それとも電気双極子のみを取り入れたもので説明しているのか、その他の説明を採用しているのか、どれでしょう？

双極子近似を用いているので、もちろん厳密なものではありません。
選択規則と同様に近似的なものです。

>相互作用ラグラジアンを与えて、そこから、物質系の角運動量と電磁場のスピンとの和が保存するというのを導出しいるものを期待します。(角運動量の担い手が光子のスピンとの解釈を正当化する論理展開として)

物質系の角運動量と電磁場のスピンとの和が保存するということは、一般に物質と場を合わせた全角運動量が保存するということから直ちに導かれることなので、そんなことをわざわざ導出しているテキストがあるかどうかは疑問です。
ただし、物質系の角運動量には電子や陽子のスピンも含まれるので、厳密にはこれらを含めた全角運動量が保存され、電子の軌道角運動量と光子のスピンの和だけでは保存しないでしょう。しかし、普通は電子や陽子のスピンの変化は無視できて、近似的に電子の軌道角運動量と光子のスピンの和が保存するとしてよいでしょう。

>ちなみに、2S→1S遷移(光子を放出する基底状態への遷移)は、起こらないと考えているのでしょうか？

電子や陽子のスピンが変化する可能性まで考えれば、１光子の場合でもそのような遷移が厳密に起こらないとは言えないでしょう。
しかし遷移確率は非常に小さく、普通は無視できると思います。
もちろん実際に遷移確率を計算したわけではないので、遷移確率が無視できるほど小さくないことを示されるか、１光子による2S→1S遷移が起こっていることを示す実験データなどを紹介していただければ、私の見解は訂正します。

複数個の光子が関与する場合は、この遷移は起こりそうに思えますが、正確なところはよく分かりません。

Re:非線形効果による多光子遷移　 ASA - 2010/08/16(Mon) 16:15 No.27475

>ASAさんは光子のスピンは測定できないというお考えなのでしょうか？
１個の光子のスピンを測定できるか、はなはだ疑問に思います。
粒子で言えば、位置の不確定性をなくして場合、運動量不確定性⊿P=∞の状態ですから。
つまり、⊿x=0の粒子を観測するのと同様の困難さがあるわけです。

>光子のスピンは（原理的には）測定可能なものとして扱われているので、
　位置は測定できても、⊿x=0は測定できない(実在しない)。

>１個の光子のスピンが測定できるということでしょう。
　挙げられた文献では、光子対のヘリシティの測定と書いてありますので、
１個の光子のスピンが測定できるということとどのようにつながるのかが理解できません
　原文訳すと、"この関係(おそらく仮設でしょう)に基づいて、 spin of a single photon and of a photon pair を測定できるような干渉計を組み上げた。"ですよね。
　干渉計の構成を考慮すると、1つあたりのスピン量をトーションから求めているのでは？(詳細は不明ですが)
　単独光子を生成して、そのスピン量を直接測定しているように見えませんね。

>（１度に複数個の光子は入ってこないものとします。）
　これ間違いです。光子の位置は不定ですから、１度に複数個の光子が必ず入ります(前提がおかしい)。
>運動方向のスピン成分を測定すれば、それぞれの測定値は１か-1であって、0が得られることはなく
　なので、１度に複数個の光子が必ず入るので、0が得られることになります。

>双極子近似を用いているので、もちろん厳密なものではありません。
>選択規則と同様に近似的なものです。
　運動量保存とかスピン量保存とかは、近似的に成立するものではないはずです。
それなのに、近似的話で適当な解釈をするのは、駄目な気がします。

>一般に物質と場を合わせた全角運動量が保存するということから直ちに導かれることなので
　見たことがないもので、ちなみに導いてもらえませんか？(近似的に成立する話ではありませんよね)　
　
>普通は無視できると思います。
2S→1S遷移が無視できるなら、一旦2S状態を作れば、基底に落ち込まないということになります(宇宙の寿命以上とお考えなわけですね)。明らかに変ですね。
>私の見解は訂正します。
　常識的に考えればよろしいのでは？

Re:１個の光子のスピンが測定できる　甘泉法師 - 2010/08/16(Mon) 22:58 No.27477

こんにちは　yamaさん

＞と書かれていますので、干渉計を用いて１個の光子のスピンが測定できるというこ
＞とでしょう。

アスペの実験のQA　http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1318900413　を見て実験の具合から
偏光板に入射する光子をひとつに絞ることができる。
偏光板をひとつの光子がとおるか/とおらないかを計測できる
と考えます。

＞（１度に複数個の光子は入ってこないものとします。）

これもアスペの実験では実現していると考えます。統計をとるためにはたくさんの回数の、でも毎回は１個の光子を（あるいは反対側に放出され別の偏光板にはいる１個の光子とのワンペアを）みています。

＞　多数回の測定値を平均すればほぼ0になるでしょう。

いつでも平均は０と限らず、右旋光なら＋１（-1？　どちらがどちらか定義に自信がなく）、左旋光なら-１（+1？）ですよね。
http://www.jvc-victor.co.jp/pro/3dtechnology/technology/xpol.html　の右目にはいる光と左目にはいる光のように。

＝甘泉法師＝

Re:１個の光子のスピンが測定できる　 yama - 2010/08/17(Tue) 00:51 No.27478

スピンを測定するのに位置を⊿x=0で測定する必要はありません。
⊿xが光子同士の距離よりも十分小さければいいので光子同士の距離を十分大きくすれば⊿xを大きくしてもかまいません。
そのためには十分減光すればいいわけです。
光の干渉の実験で光源とスクリーンの間に同時に２個以上の光子が存在しないほどに減光しても干渉縞が現れるという実験結果があるそうですが、光源と測定器の間に同時に２個以上の光子が存在しない程度に減光すれば、複数の光子が同時に測定器に入る可能性はほとんどなくなります。（甘泉法師さんが紹介されているアスペの実験のように）
偶然複数個が同時に入れば誤差が生じますが、減光によってその誤差を十分小さくすることができます。
spin of a single photon は明らかに単独光子のスピンであって1つあたりのスピン量ではありません。

>運動量保存とかスピン量保存とかは、近似的に成立するものではないはずです。
>それなのに、近似的話で適当な解釈をするのは、駄目な気がします。

厳密に保存するのは、陽子や電子のスピンも含めた全角運動量です。
それに対して電子の軌道角運動量と光子のスピンの和は厳密には保存しないが近似的には保存するということです。
近似的に成立するものではないというのは意味がよく分かりません。

>>一般に物質と場を合わせた全角運動量が保存するということから直ちに導かれることなので
>見たことがないもので、ちなみに導いてもらえませんか？(近似的に成立する話ではありませんよね)　

電磁場が存在する場合には、保存する全角運動量の中には光子のスピンも含まれるというのは自明のことだと思いますが。

>2S→1S遷移が無視できるなら、一旦2S状態を作れば、基底に落ち込まないということになります(宇宙の寿命以上とお考えなわけですね)。明らかに変ですね。

無視できるというのは、分光実験などでそのような遷移確率を無視してもノイズを上回るほどの誤差は生じないのではないかということです。（この場合も無視できないのでしょうか？）
基底に落ち込まないかどうか宇宙年齢程度の期間にわたって観察し続けるというような実験を想定したものではありません。

甘泉法師さんへ

興味深い実験ですね。このような精密実験によって理論的に予想されていた現象が検証されるというのはすばらしいことですね。

>いつでも平均は０と限らず、右旋光なら＋１（-1？　どちらがどちらか定義に自信がなく）、左旋光なら-１（+1？）ですよね。

一般にはその通りですね。平均が0というのは直線偏光を前提とした値です。

Re:１個の光子のスピンが測定できる　 ASA - 2010/08/17(Tue) 06:42 No.27479

yamaさん
>スピンを測定するのに位置を⊿x=0で測定する必要はありません。
　意味不明?

>減光によってその誤差を十分小さくすることができます。
　減光も何もないですよ。
　そもそも1光子を述べているのですから、
　光子数N=1の状態が存在しない(しかも、微弱すぎて検出できないし、また、確率的にしか検出できないので測定器の長さは∞にしなければならない)という主張でした。　⊿N=0の状態は、位相不確定な状態ですよ。

>spin of a single photon は明らかに単独光子のスピンであって1つあたりのスピン量ではありません。
　全然明らかではありません。
　光子数N=1の状態に対する、感度があるとは到底思えません。
　光ファイバーのトーションといってますから、検出する前にファイバーそのものに吸収されてしまいます。

>それに対して電子の軌道角運動量と光子のスピンの和は厳密には保存しないが近似的には保存するということです。
　これこそよく分かりません。何が近似的なのですか?、近似オーダーを定量的に示してないので判断できません。

>電磁場が存在する場合には、保存する全角運動量の中には光子のスピンも含まれるというのは自明のことだと思いますが。
　自明でありません。
　ランダウテキストを引用していたので、同じ相対論的量子力学1を見ると
　p219に水素原子のシュタルク効果に関して"角運動量の大きさは保存しない"
　と述べており、磁気量子数の選択則　m'-m=0,+-1 (52.10)　を上げてます。
　
　ちなみに静電場のスピンは、いくつなのでしょう？

>分光実験などでそのような遷移確率を無視してもノイズを上回るほどの誤差は生じないのではないかということです
　時間がたてば、確実に基底状態に落ち込むので、その状態に対して分光等の実験を行なえば、これもまた確実に観測結果が違いますね(状態に関係する測定なら)。

PS.ランダウp22に、Ej-光子,Mj-光子：角運動量j=1,2,3...との古典対応する光子の概念が説明されてますね。(1個の光子の角運動量が常に1とのyamaさんの考えと食い違ってますね。)

甘泉法師さん
>いつでも平均は０と限らず、右旋光なら＋１（-1？　どちらがどちらか定義に自信がなく）、左旋光なら-１（+1？）ですよね。
　z方向に進みx方向に電場成分をもつ直線偏光を想定します。
　円偏光方向の測定器として、それぞれz方向に距離lだけ離れた距離に電場感知センサー1と電場感知センサー2をおき,それぞれで検出された電場の方向から円偏光の左右を決定するとします。
　このような測定器を用いると、直線偏光は、いつでも平均値0となります(y方向の電場成分は検出されないため)。

Re:１個の光子のスピンが測定できる　甘泉法師 - 2010/08/17(Tue) 08:23 No.27480

こんにちは。

yamaさん
＞興味深い実験ですね。このような精密実験によって理論的に予想されていた現象が検証されるというのはすばらしいことですね。

コメントいただきありがとうございます。

アスペの実験のグラフィックと動画による説明
http://www.blacklightpower.com/theory/Aspect.shtml
アスペの「４ページの論文」
http://www.drchinese.com/David/Aspect.pdf
をみつけました。　よろしければ情報共有ください。

＝甘泉法師＝

Re:１個の光子のスピンが測定できる　 yama - 2010/08/17(Tue) 14:11 No.27482

光子のスピン測定の具体的な方法について詳しく知っているわけではないのでこれ以上の説明は控えます。
光子のスピンの測定は少なくとも原理的には可能であると一般には考えられていると思いますが、測定不可能であるというASAさんの説があることにも留意しておきましょう。

>>それに対して電子の軌道角運動量と光子のスピンの和は厳密には保存しないが近似的には保存するということです。
>これこそよく分かりません。何が近似的なのですか?、近似オーダーを定量的に示してないので判断できません。

個々の遷移については保存するか保存しないかのどちらかですね。保存しない場合もありますが多くの場合は保存するので、統計的な意味で近似的に保存すると表現したわけですが、適切な表現ではなかったかもしれませんね。

>>電磁場が存在する場合には、保存する全角運動量の中には光子のスピンも含まれるというのは自明のことだと思いますが。
>自明でありません。

そうすると光子のスピンは全角運動量には含まれないのでしょうか？
シュタルク効果との関係もよく分かりません。
シュタルク効果で角運動量が保存しないのは、光子のスピンが全角運動量に含まれないからだということでしょうか？

>ちなみに静電場のスピンは、いくつなのでしょう？

スピンというのは場を量子化したときの粒子についての概念なので、場のスピンというのは意味がないように思います。
場の角運動量を考えることはできて、静電場の場合は0になると思います。

>時間がたてば、確実に基底状態に落ち込むので、その状態に対して分光等の実験を行なえば、これもまた確実に観測結果が違いますね(状態に関係する測定なら)。

外部からの摂動を完全に0にすることはできないので、摂動によって上の準位に励起されてから、基底状態に落ち込むことも考えられるので、いずれにしても十分時間が経過すれば基底状態に落ち込むことには異論はありません。
私が知りたいのは2s→1sの遷移による光のスペクトルは2p→1sのスペクトルと重なると思いますが、そのスペクトルの強度は2p→1sの遷移だけがあるときの強度に比べて有意な差があるだろうかということです。

>PS.ランダウp22に、Ej-光子,Mj-光子：角運動量j=1,2,3...との古典対応する光子の概念が説明されてますね。(1個の光子の角運動量が常に1とのyamaさんの考えと食い違ってますね。)

そうですね。この点は訂正しておきます。
光子の軌道角運動量に相当するものを考慮していなかったので、光子の角運動量はスピンだけだとしていましたが、一般にはスピン角運動量の１だけではありませんね。

Re:１個の光子のスピンが測定できる　 yama - 2010/08/17(Tue) 14:17 No.27483

甘泉法師さん、ありがとうございます。
大いに参考にさせていただきます。

Re:水素原子の励起　 Ekinetic - 2010/08/18(Wed) 09:02 No.27489

議論に参加できず、申し訳ありません。

みなさんには、いろいろ教えていただき、感謝申し上げます。
議論の内容が理解できるように研鑚を積んでいきたいと思います。

ありがとうございました。

Re:水素原子の励起　 ASA - 2010/08/18(Wed) 10:52 No.27490

Ekineticさん
　元の質問に対するちゃんとした答えがありませんね。
>11.2eV の光子は、 10.2eV のエネルギーだけ使って水素原子を励起し、（コンプトン効果のように）波長の長い光子となって跳び去る.
　定常な量子(固有)状態として11.2eVのエネルギー差に相当する状態(仮に状態3とする)があれば、基底状態1→(11.2eV吸収)→状態3→(1.0eV放出)→状態2(基底と10.2eVのエネルギー差)となり、一連の結果としてコンプトン効果のように波長の長い光子となって跳び去ることがあります。
　(なので、問題の回答には状態3が存在しないということを述べなければならない)

　量子論では、状態が離散的なことが特徴です。
　自由電子に対するコンプトン効果は、自由電子の固有状態が連続的であるため、任意のエネルギー差の光子が飛び去ることが可能となってます。
　

Re:水素原子の励起　甘泉法師 - 2010/08/18(Wed) 18:53 No.27492

こんにちは。　Ekineticさんは　受験生でしょうか。御精進ください。

＝甘泉法師＝

Re:水素原子の励起　 Ekinetic - 2010/08/19(Thu) 21:42 No.27497

ASA さん
>11.2eVのエネルギー差に相当する状態(仮に状態3とする)があれば、基底状態1→(11.2eV吸収)→状態3→(1.0eV放出)→状態2(基底と10.2eVのエネルギー差)となり、一連の結果としてコンプトン効果のように波長の長い光子となって跳び去ることがあります。
　(なので、問題の回答には状態3が存在しないということを述べなければならない)

すごくよく解りました。

>コンプトン効果は、自由電子の固有状態が連続的であるため、任意のエネルギー差の光子が飛び去ることが可能
　
なるほどです。納得できます。
最後までありがとうございました。

甘泉法師さん
>受験生でしょうか。

そうではないのですが、これからもどうぞよろしくお願いいたします。

物理学会　三年生 - 2010/08/19(Thu) 20:19 No.27496

物理学会に参加したいのですが、当日参加はできるのでしょうか？発表はしません。

2自由度モデルの変位応答　ぽち - 2010/08/17(Tue) 16:26 No.27484

こんにちは。
2度目の投稿です。

天井からバネ1、おもり1、バネ2、おもり2の順に吊るされていて、おもり1、おもり2の変位応答をNewmarkβ法で求め、そのグラフ(横軸は時間t)をExcelで描くという問題が分からないので、教えていただけませんか。
バネ1,バネ2のバネ定数はそれぞれk1,k2、おもり1,2の質量はm1,m2、おもり1,2の初期位置はx1,x2、外力はありません。

よろしくお願いします。

Re: 2自由度モデルの変位応答　 Yokkun - 2010/08/18(Wed) 08:59 No.27488

つりあい位置から鉛直下方への変位を <tex>x_1,x_2</tex>

とすると（初期位置とかぶりますが），運動方程式は
$<tex>m_1\ddot{x_1} &= -k_1x_1 + k_2(x_2 - x_1)\\ m_2\ddot{x_2} & = -k_2(x_2 - x_1)</tex>$
となると思いますが，いかがでしょうか？

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