物理のかぎしっぽ掲示板

Re: 微分記号

aintfober — 2012-02-05T22:11:00+09:00

Yokkunさんにyamaさん、回答ありがとうございます。
お二人の議論で、疑問がすっかり解決しました。
積分が経路に依存するというのがミソだったんですね。
微積についての理解が深まった気がします。

無題

はじめ — 2012-02-05T16:21:00+09:00

まっすぐな円筒にまかれた導線がある。単位当たりの巻き数はｎ、総巻き数はN、円筒の断面はSであり、内部の透磁率はμである。
a)電流Iが流れているとき、円筒内部の磁束密度
b)この導線の自己インダクタンス

c)この導線に重ねて、単位当たりの巻き数ｍ、総巻き数Mの導線まいたときの、この二つの導線の相互インダクタンス

自分なりに時解きましたが、
a)H=nI よりB=μnI
b)Φ=μnIS、ΦがN回貫くのでL=NΦ/I=μnNS
ここまであっているでしょうか？
またc)の相互インダクタンスの求め方がいまいちよくわかりません。

解説お願いします。

Re: 微分記号

yama — 2012-02-05T11:17:00+09:00

そういうことだと思います。

ところで、熱力学のテキストでも全微分も単なる無限小量も区別せずにdQのように表記しているものもあるので、必ず区別して表記しないといけないわけではありません。
しかし区別して表記していない場合でも、取り扱いでは区別が必要になります。

初めに戻って回路のエネルギーについて考えると
E = RI + Q/C
でE,R,Cは定数なのでIはQの関数になりますね。
従って仕事W=EQも静電エネルギーUcもジュール熱J=∫[0.t]RI^2dt もすべてQの関数になります。
（ジュール熱としてはJ=∫[0.∞]RI^2dtではなく、電荷がQになる時刻tまでに発生する熱量を考えます。）
このとき
W=J+Uc
なので
dW=dJ+dUc
と書くことができます。
ここでdW,dJ,dUcはいずれも１変数関数の無限小変化なので（全微分とはいいませんが）全微分と同じように取り扱うことができるため
δW=δJ+dUc
と書く必要はないでしょう。
ただしこれは今考えている回路の場合に限ったことであって、無限小の仕事や熱量は一般には全微分（または１変数関数の微分）にはなりません。

Re: 微分記号

Yokkun — 2012-02-05T08:28:00+09:00

yamaさん，ありがとうございます。「多変数関数の無限小変化」までは理解していましたが，座標以外の何が変数になるんだろうと思いました。なるほど，一般に経路に依存する仕事では関数自体が存在せず，いきあたりばったりの<tex>\delta W</tex>だけが無限小変化となり，全微分<tex>\mathrm{d}W</tex>は定義できない，ということですね？　私は保存力のことしか頭になかったようです

Re: 微分記号

yama — 2012-02-05T00:23:00+09:00

私は、全微分は（変数の無限小変化に対する）多変数関数の無限小変化だと理解しています。
例えば多変数関数W(\bm r)=W(x,y,z)の無限小変化

dW(\bm r)=W(\bm r+d\bm r)-W(\bm r)=\nabla W(\bm r)\cdot d\bm r=\frac{\partial W}{\partial x}dx+\frac{\partial W}{\partial y}dy+\frac{\partial W}{\partial z}dz

は全微分です。

仕事

W=\int\bm F\cdot d\bm r

は一般には\bm rだけの関数ではなく積分経路に依存します。
従って

dW=\bm F\cdot d\bm r

は無限小量ですが

dW=W(\bm r+d\bm r)-W(\bm r)

となるような関数W(\bm r)は一般には存在せず、その場合はdWは全微分ではありません。
（従って全微分と区別するために\delta Wと書いたりするわけです。）

しかし力\bm Fが保存力の場合は、仕事は経路によらないためWは\bm rの関数W(\bm r)となってdWは全微分になります。その場合は

\bm F=\nabla W(\bm r)

となり、-W(\bm r)がポテンシャルエネルギーになるわけです。

逆に

\bm F=\nabla W(\bm r)

となるような関数W(\bm r)が存在すれば、dW=\bm F\cdot d\bm rは全微分（すなわちW(\bm r)の無限小変化）になり、力\bm Fは保存力になります。

Re: BEC

it（学部三年生） — 2012-02-04T22:41:00+09:00

tex使ってみます。
過去ログでもありましたが、解決できてなかったので書き込ませていただきます。
no.22594

BECの話なのですが、
N全粒子数の期待値、N_0基底状態（E_0 = 0とする）にいる粒子数の期待値、N'それ以外にいる粒子数の期待値
N=N_0+N'ですが、

Appell関数の

F_{3/2}(y)
(y = exp(\mu/{kT}))

で
N'= VF_{3/2}(y)/{\lambda_t^3}
\lambda_tは熱的ドブロイ波長,Vは体積
と表しますよね？

ここでλはTの関数でもあり、F_{3/2}(y)はμの関数でもある。
μはＴの関数でもありますから、
結果的にTの関数となっていて、N(T)=N'(T)と単純にすれば良い所を、
計算の複雑性のためか、N(T)=N'max(T)としている(μ=0と置いた)。
これでは臨界温度では\mu=0となる事の根拠がないように思います。
誰かわかる方いらっしゃいますか？

BEC

it（学部三年生） — 2012-02-04T22:30:00+09:00

過去ログでもありましたが、解決できてなかったので書き込ませていただきます。
no.22594

BECの話なのですが、
N全粒子数の期待値、N0基底状態（E0=0とする）にいる粒子数の期待値、N'それ以外にいる粒子数の期待値
N=N0+N'ですが、

Appell関数のF3/2(y)(y=exp(μ/kT))
で　N'=V×F3/2(y)/λ^3 　　　　λは熱的ドブロイ波長,Vは体積
と表しますよね？

ここでλはTの関数でもあり、F3/2(y)はμの関数でもある。
μはＴの関数でもありますから、
結果的にTの関数となっていて、N(T)＝N'(T)と単純にすれば良い所を、
計算の複雑性のためか、N(T)=N'max(T)としている(μ=0と置いた)。
これでは臨界温度ではμ=0となる事の根拠がないように思われる。
誰かわかる方いらっしゃいますか？

Re: 立体角

DOG — 2012-02-04T21:47:00+09:00

Yokkunさんありがとうございました。
おかげで理解できました。

Re: 微分記号

Yokkun — 2012-02-04T19:51:00+09:00

なるほど。私もそこまでは考えていませんでした。dも，δも，Δも使い分けの必要があるときには使い分けていますが，単に微小変化の意味でごっちゃにしてますので…。

>δw=f↓・dr↓ …\x87C(左辺は全微分とは限らないので、dwとはかかない)

これは仕事の定義から考えるとちょっと腑に落ちないところがありますね。

W = \int\bm{F}\cdot\mathrm{d}\bm{r}

であって，

W = \int \mathrm{d}(\bm{F}\cdot\bm{r})

ではないので，

\mathrm{d}W = \mathrm{d}\bm{F}\cdot\bm{r} + \bm{F}\cdot\mathrm{d}\bm{r}

とは書けないですよね。どうなんでしょう？　この場合の「全微分」が何を意味しているか理解できていません。

Re: 立体角

Yokkun — 2012-02-04T19:38:00+09:00

はい，まったくそのとおりですね。

Re: 立体角

DOG — 2012-02-04T19:19:00+09:00

Yokkunさん返信ありがとうございます。
なるほど。そのようなイメージだったのですね。

自分なりに、次のようにおもったのですがこの考えはあってますでしょうか？

半径1の球面上の微小面積はsinθdθdφ　すなわちこれが立体角なので、これをφについて0〜2πまで積分、θについて0〜θまで積分したものが半頂角θの円錐の立体角となる。

どうでしょうか。

Re: 動圧から風速を求める方法について質問します

toorisugari no Hiro — 2012-02-04T17:35:00+09:00

密度<tex>\rho</tex>の流体の一部が相対的な速さ<tex>v</tex>で動くと<tex>\Delta P =\frac{1}{2} \rho v^2</tex>だけ圧力が相対的に下がります。これを逆算すればいいだけです。ただ、これらの計算ではSIあるいはMKS単位系に変換して行う必要があります。単位の変換係数や気体の密度などの物性値は知りませんので、ご自分で文献等で調べてください。

Re: 微分記号

aintfober — 2012-02-04T17:02:00+09:00

回答ありがとうございます。
本当ですか、安心しました。
ところで、あるサイトさんにこんなことが書かれていました。
「力f↓を受けて微小距離dr↓動く質点が受ける微小な仕事は
δw=f↓・dr↓ …\x87C(左辺は全微分とは限らないので、dwとはかかない)」
僕はまだ受験生なので、全微分とかは深く勉強できていません。なので今までは微小仕事Δwの無限小としてdw=〜と書いたりしていた(dwと書いている文献もありました)のですが…これを見る限り、今まで変化量Δの無限小として何気に書いていた微小量d□は、多変数の場合特別な注意が必要になるということでしょうか？\x87B式のジュール熱は場合によっては電圧と電流の多変数だし危険なのかなーと思ってしまいました。
今後答案練習をして行く中でも\x87B式(或いはΔに直した式)なんかはエネルギー保存則としてしょっちゅう使うと思うのでもう一度確認させて頂きたいのですが、
\x87C式をdw=〜と書くことや、\x87B式の微小量の和の表現、特にdJ=(RI^2)dtという表現は数学的に正しいでしょうか？

動圧から風速を求める方法について質問します

もんすーん — 2012-02-04T13:30:00+09:00

動圧から風速を求める方法について質問します。

地人書館発行のＬ・Ｗマクノート著　核兵器　のｐ101において、静過圧0.68気圧のときの動圧0.15気圧は時速470km(秒速128m)であると記述してありますが、動圧から風速を算出する式はどのようなものになるでしょうか？　またこの時、気圧をパスカル、psiにした場合についても同様に質問します。

Re: 立体角

Yokkun — 2012-02-04T07:34:00+09:00

立体角の定義によれば，

原点を中心として単位長を半径とする球面を切り取る面積

です。半径Rの球面を半頂角θで切り取ってできる円の半径はRsinθで，微小角dθの幅のリングの面積がdS = 2πRsinθdθ。これを0〜θにわたって積分すると切り取る球面の面積になります。R=1とすれば立体角ですね。