物理のかぎしっぽ掲示板

Re: 量子専攻に向けて

toorisugari no Hiro — 2013-09-02T14:14:00+09:00

> 量子力学の自分の興味のあるところ

これが明らかにならないとどんな分野がいいということができません。
「量子力学」そのものを専攻しているところはないからです。(数学の分野で基礎論をしているところはありますが。たぶん望むものではないでしょう。)
量子力学はあくまで道具に過ぎません。

いまの状況からなら、量子化学・物性物理の分野での興味のあるところを探す、というのがまずは順当かと。まず、自分の大学(物理系・化学系)で該当するところはないか探し、そこでいろいろ話を聞くところから始めては?

それで、他大学の研究室にwebを通して連絡をとり、訪問するなどしてみては?

量子専攻に向けて

black — 2013-09-01T05:44:00+09:00

初めまして。私立大学二年生の者です。私の学科は物理系生物系化学系全ていけるのですが、入ってみたら全て化学が中心にありました。そのため数学と物理はあまりまともに授業を取れません。(化学多忙)。
しかし大学に入っていやいや有機化学を学んでるうちに量子力学を専攻したいなと思うようになりました。そのころちょうど量子力学の授業を取っていて、この軌道がなんちゃらとか数学的にわかっちゃう量子はすごいなと実感いたしまして・・・。そして何より勉強や理解しようと努力するのが一番やっていて楽しいのです。
そこで質問なのですが、大学院は国立のところを目指してます(家庭金欠)。まだどこかの研究室訪問とかしたことないんですけど、量子力学の自分の興味のあるところにいきたいです。研究室訪問は10~11月でも可能でしょうか？また今から院試まででやることになる数学で今やるべき(何から始めたらいいんでしょう？)数学の範囲ってなんでしょうか？
今初歩の初歩的なことでは微分方程式、線形代数、微積分は学校でやりました。
全般的なことでも構わないのでアドバイスください。よろしくお願いします。

ガロア理論の論点整理とエコールノルマル（update2）

tueno — 2013-09-01T00:34:00+09:00

■ガロア理論の論点整理

ガロア理論は、壮麗な交響楽のようで、その理論構成は見事としかいいようがないのですが、あまりの重層的な創りに見方を誤ると迷路から抜け出せない危うさを常に孕んでいます。そこで、論点をまとめてみました。

ガロア理論は、いくつかの山場がありますが、まず第一の柱が、\x87@ガロア理論の基本定理：基礎体Ｋとその拡大体Ｅがあり、この拡大がガロア拡大という条件を満たすときＫとＥの中間体とガロア群（ＥのＫ上の自己同型群＝Ｅの自己同型群の部分群でＫの元を不動とする写像からなる群）の部分群には、１対１の対応が存在する−−体と群の対応−−という体と群を結び付ける美しい定理です。この定理で複雑な体の情報が構造がわかりやすい群の情報に置き換わり、この群を分析すればよいことがわかります。\x87@は独立した定理で、方程式論のほか、円分体の構造や正多角形の作図問題にも応用できる重要な定理です。

\x87@を用いて、第２の山場\x87A方程式が代数的に解ける（解が係数の四則演算とべき根で表現できる）ことと方程式のガロア群が可解群（商群が巡回群であるような正規部分群の列が存在する群）であることが同値である−−ことが導かれます。これがガロア理論の最大の山場で、これは難解ですが、その基になるものが、\x87B基礎体（１の原始Ｎ乗根を含むとする）のガロア拡大が巡回拡大（ガロア群が巡回群となるような体の拡大）ならば、この拡大は、べき根拡大（基礎体にaのN乗根を付加した体＝基礎体が１のＮ乗根を含むとき、これをクンマー拡大という）である（逆も成り立ちます。つまり、べき根拡大（クンマー拡大）なら、ガロア群は巡回群となる）−−という定理が基本的かつ決定的に重要です。\x87Aは、イメージしにくいのですが、\x87Bは数学的に美しく、納得性があるというか、イメージしやすいという特徴があると私は思います。本サイトでも、気迫ある記事−『塁開冪拡大とガロア理論』で説いているところです。これを乗り越えたならば、最後の山場が\x87C一般代数方程式のガロア群は、Ｎ次対称群（置換群）Ｓnで、Ｎが４以下ならば可解群、５以上ならば非可解群となる−−となり、\x87Aと\x87Cから、ガロアが見破った『５次以上の代数方程式には、解の公式がない』つまり、係数の四則演算とべき根では表現できない、という結論に到達します。現代のガロア理論では、\x87@、\x87A、\x87B、\x87Cを総称してガロア理論と読んでいるようです。ここで注意すべきは、\x87@、\x87B、\x87Cは独立した定理であることです。\x87Aを、\x87@、\x87Bを用いて証明することがガロア理論の最大の山場です。また、群の可解性という言葉にも注意する必要があります。この可解という表現は、方程式の可解性に結び付けて後追いで定義された、とってつけたような表現になっているのがかえってガロア理論をわかりにくくしているということです。ここで\x87Bが活きてきます。\x87Bを徹底的に理解すれば、\x87Aもわかりやすくなります。

果たして、ガロアはどのようにして、これらを導いたのでしょうか。現代のガロア理論は、構造主義によって理路整然と構成されていますが、ガロアは\x87@から\x87Cを順序付けて構築したのか、それとも、ガロアが情熱とともに渾然一体と感じながら導いたのでしょうか。つまり、ガロアはなにをどのように感じとったのでしょうか。たとえば、\x87Cは、\x87@\x87A\x87Bがわからなくても理解できるひとつの定理（交換子群と巡回置換、偶置換の関連から導かれます）なのですが、\x87@\x87A\x87Bがあってはじめて存在意義があるものです。私個人的には、ガロアは、ガロア群が巡回群であることと、方程式の可解性の関係を感じとったのではないかと思います。その際、ガロア群として、具体的な解の置換群（Ｎ次置換群=対称群）を考えたのではないでしょうか。そもそも、群という概念は、ガロアの時代には一般論として存在せず、置換群から原始的な群の概念が起こったと考えられます。このあたりは、現在、ガロアの原文の邦訳が出ているので、興味あるかたはそれを参照ください。私にはそれを解説する能力はありません。

なお、私は証券会社勤務時、パリで開かれた金融の国際会議に出席したおり、会議を抜け出して、エコール・ノルマル・シュペリエールを訪れたことがあります。エヴァリスト・ガロアが在籍した大学として知られます。その在校生に数学教室を案内してもらいましたが、特に当時の印象は感じられませんでした。ただ、ガロアにはのめり込んでいたので、噴水のある静寂な中庭のベンチに座っているとさすがに感慨深いものがありました。会議のディナーは、なんとかのマリーアントワネットがギロチンの露と消える前に幽閉されていた洞窟のようなコンシェルジュで行われたのですが、エコール・ノルマルとは違ってフランス革命当時の不気味な雰囲気が感じられました。

内積空間と特殊方程式

tueno — 2013-08-30T00:44:00+09:00

以前、私は、ルジャンドルの多項式が内積空間を持ったベクトル空間で、グラム・シュミットの直交化で自然に（代数的に）求められる、という内容の投稿をしたことがあります。また、ある専門家から、ラゲール多項式というものも、グラムシュミットの直交化でやはり導くことができると指摘されました。こう考えると、エルミート多項式やベッセル関数も同じように求められるかもしれません。このへんの統一した理論に知見を持っておられる方がおられましたら、ご教示いただけますでしょうか。よろしく、お願いします。

ガウスは、群論を知っていたのか？

tueno — 2013-08-30T00:14:00+09:00

■ガウスは、群論を知っていたのか？

正17角形の作図方法は、数学の王者ガウスが朝目覚めたときに発見したと言われています。ガウスが気付いたのは、現代の数学理論では、円分体Ｑ(ζ)（ζは１の原始Ｎ乗根）及びその部分体のＱ上のベクトル空間とみたときの基底、いわゆる"f項周期"です。現代の数学理論では、これは、ガロア理論の応用のほんの一例に過ぎません。つまり、Ｑ（ζ）の部分体とガロア群Gal（Ｑ(ζ)/Ｑ）(法Ｎの既約剰余類群)の部分群の一対一対応で、ガロア群の固定体としての基底を自己同型群の性質から導くというものです。その理論展開は見事としか言いようがないほど美しく、円分体の芸術性の真骨頂があると私は思うのです。逆に言うと、ガロア理論なくしては、f項周期は求められないのではないかということです。すると、ガロアより40年前に生まれたガウスは、すでに群の概念または、群論と同じような考えかたを知っていたのではないかと推察されます。もし、ガロア理論なくて、ガウスがf項周期を単独で発見したとなれば、それこそガウスが天才たる所以かもしれません。私はその詳細を知る由もありませんが、果たして、ガウスは群論、ガロア理論を知っていたのでしょうか？

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Re: 双対性原理

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Re: 双対性原理

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