たびたび失礼します,大学生のChappyです. 今,僕の手元に,ある問題があって, よいアドバイスがいただきたく,質問いたします. その問題は <b>“ 有限整域 は体であることを示せ ”</b> というものです. ただし, は単位元をもつという仮定が必要かもしれません.
は自明なイデアルしかもたないと僕は考えてます. もし,それが正しければ, 単項イデアル が極大イデアルとなるため, “ :極大イデアル :体 ( は環)”という事実を用いれば,証明できると考えています. いかがでしょうか? また,違うアプローチがあれば,ヒントだけ教えていただけると嬉しいです.
その後,自力で解けました. 自分で考えた予想が正しかったようです... むしろ,自明なイデアルしかないことから,簡単に が体であることが言えました.
話は変わりますが,1つ質問です. 係数の形式的べき級数環 の単数全体はどうして, となるのですか?
Chappyさん:
なんどか,解説されているところを拝見させていただいています.
このような数学の問題は,記号を見ただけで眠たくなる習性の持ち主です(泣).そこで,Chappyさんの質問も勿論理解できないのですが,将来,この問題を知りたい人も出ると思います.ついては,折角解かれた解法をお書きになると良いのではありませんか?
ヒョットすると数学に堪能な方から,コメントをいただけるかも知れませんから.
mNejiさん,ご返事ありがとうございます! そうですか..それでは,解答を書いてみます...
<b><有限整域 が自明なイデアルしかもたないこと></b>
証明の方針は背理法で,自明でないイデアル があったと仮定するところから始めます. は自明でないから,ある0でない元 があります. よって,イデアルの定義から, が成り立ちます. は有限だから, などと書けます. すると, が整域であることを使えば, であることが分かります.したがって,位数を比べると, . であることから, となり, が自明なイデアルでないことに矛盾します.
<b>< が自明なイデアルしかもたないならば, が体であること></b>
であることを示します. 背理法で,0でない元 が存在したとします. このとき, は のイデアルです. ところが, には自明なイデアルしかないので, です.したがって,ある があって, . 同様に から,ある があって, . 実は, となりますから, となり,矛盾がおきます.
質問の補足ですが, には次の乗法が定義されているものとします.