代数の問題について

代数の問題について

Chappy さんの書込 (2006/06/24(Sat) 18:53)

たびたび失礼します,大学生のChappyです. 今,僕の手元に,ある問題があって, よいアドバイスがいただきたく,質問いたします. その問題は <b>“ 有限整域 R は体であることを示せ ”</b> というものです. ただし, R は単位元をもつという仮定が必要かもしれません.

R は自明なイデアルしかもたないと僕は考えてます. もし,それが正しければ, 単項イデアル (0) が極大イデアルとなるため, “ \mathfrak{a} :極大イデアル \iff R/\mathfrak{a}\neq\{0\} :体 ( R は環)”という事実を用いれば,証明できると考えています. いかがでしょうか? また,違うアプローチがあれば,ヒントだけ教えていただけると嬉しいです.

Re: 代数の問題について

Chappy さんのレス (2006/07/05(Wed) 23:36)

その後,自力で解けました. 自分で考えた予想が正しかったようです... むしろ,自明なイデアルしかないことから,簡単に R が体であることが言えました.

話は変わりますが,1つ質問です. \mathbb{R}- 係数の形式的べき級数環 \mathbb{R}[[x]]=\{a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots\:|\:a_i\in\mathbb{R}\} の単数全体はどうして, \{a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots\:|\:a_0\neq 0\} となるのですか?

Re: 代数の問題について

mNeji さんのレス (2006/07/06(Thu) 01:39)

Chappyさん:

なんどか,解説されているところを拝見させていただいています.

このような数学の問題は,記号を見ただけで眠たくなる習性の持ち主です(泣).そこで,Chappyさんの質問も勿論理解できないのですが,将来,この問題を知りたい人も出ると思います.ついては,折角解かれた解法をお書きになると良いのではありませんか?

ヒョットすると数学に堪能な方から,コメントをいただけるかも知れませんから.

Re: 代数の問題について

Chappy さんのレス (2006/07/06(Thu) 18:08)

mNejiさん,ご返事ありがとうございます! そうですか..それでは,解答を書いてみます...

<b><有限整域 R が自明なイデアルしかもたないこと></b>

証明の方針は背理法で,自明でないイデアル \mathfrak{a}\subset R があったと仮定するところから始めます. \mathfrak{a} は自明でないから,ある0でない元 a\in\mathfrak{a} があります. よって,イデアルの定義から, Ra\subset\mathfrak{a} が成り立ちます. R は有限だから, R=\{r_1,r_2,\cdots,r_n\} などと書けます. すると, R が整域であることを使えば, i \neq j \:\Longrightarrow\: r_ia\neq r_ja であることが分かります.したがって,位数を比べると, \sharp R=n=\sharp Ra \leqq \sharp\mathfrak{a}\mathfrak{a}\subset R であることから, \mathfrak{a}=R となり, \mathfrak{a} が自明なイデアルでないことに矛盾します.

<b>< R が自明なイデアルしかもたないならば, R が体であること></b>

R^\times =R\setminus\{0\} であることを示します. 背理法で,0でない元 a\notin R^\times が存在したとします. このとき, RaR のイデアルです. ところが, R には自明なイデアルしかないので, Ra=R です.したがって,ある b\in R があって, ba=1 . 同様に aR=R から,ある b'\in R があって, ab'=1 . 実は, b'=1\cdot b'=(ba)b'=b(ab')=b となりますから, a\in R^\times となり,矛盾がおきます.

質問の補足ですが, \mathbb{R}[[x]] には次の乗法が定義されているものとします. (a_0+a_1x+\cdots )\cdot (b_0+b_1x+\cdots )\:\buildrel\mathrm{def}\over =\:\sum_{n=0}^\infty \left( \sum_{i+j=n} a_ib_j \right)x^n