代数の問題について

Chappy さんの書込 (2006/06/24(Sat) 18:53)

たびたび失礼します，大学生のChappyです．今，僕の手元に，ある問題があって，よいアドバイスがいただきたく，質問いたします．その問題は “ 有限整域は体であることを示せ ” というものです．ただし，は単位元をもつという仮定が必要かもしれません．

は自明なイデアルしかもたないと僕は考えてます．もし，それが正しければ，単項イデアル (0) が極大イデアルとなるため， “ $\mathfrak{a}$ ：極大イデアル $\iff$ $R/\mathfrak{a}\neq\{0\}$ ：体（は環）”という事実を用いれば，証明できると考えています．いかがでしょうか？また，違うアプローチがあれば，ヒントだけ教えていただけると嬉しいです．

Re: 代数の問題について

Chappy さんのレス (2006/07/05(Wed) 23:36)

その後，自力で解けました．自分で考えた予想が正しかったようです．．．むしろ，自明なイデアルしかないことから，簡単にが体であることが言えました．

話は変わりますが，１つ質問です． $\mathbb{R}-$ 係数の形式的べき級数環 $\mathbb{R}[[x]]=\{a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots\:|\:a_i\in\mathbb{R}\}$ の単数全体はどうして， $\{a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots\:|\:a_0\neq 0\}$ となるのですか？

Re: 代数の問題について

mNeji さんのレス (2006/07/06(Thu) 01:39)

Chappyさん：

なんどか，解説されているところを拝見させていただいています．

このような数学の問題は，記号を見ただけで眠たくなる習性の持ち主です(泣)．そこで，Chappyさんの質問も勿論理解できないのですが，将来，この問題を知りたい人も出ると思います．ついては，折角解かれた解法をお書きになると良いのではありませんか？

ヒョットすると数学に堪能な方から，コメントをいただけるかも知れませんから．

Re: 代数の問題について

Chappy さんのレス (2006/07/06(Thu) 18:08)

mNejiさん，ご返事ありがとうございます！そうですか．．それでは，解答を書いてみます．．．

<有限整域が自明なイデアルしかもたないこと>

証明の方針は背理法で，自明でないイデアル $\mathfrak{a}\subset R$ があったと仮定するところから始めます． $\mathfrak{a}$ は自明でないから，ある0でない元 $a\in\mathfrak{a}$ があります．よって，イデアルの定義から， $Ra\subset\mathfrak{a}$ が成り立ちます．は有限だから， $R=\{r_1,r_2,\cdots,r_n\}$ などと書けます．すると，が整域であることを使えば， $i \neq j \:\Longrightarrow\: r_ia\neq r_ja$ であることが分かります．したがって，位数を比べると， $\sharp R=n=\sharp Ra \leqq \sharp\mathfrak{a}$ ． $\mathfrak{a}\subset R$ であることから， $\mathfrak{a}=R$ となり， $\mathfrak{a}$ が自明なイデアルでないことに矛盾します．

< が自明なイデアルしかもたないならば，が体であること>

$R^\times =R\setminus\{0\}$ であることを示します．背理法で，0でない元 $a\notin R^\times$ が存在したとします．このとき，はのイデアルです．ところが，には自明なイデアルしかないので， Ra=R です．したがって，ある $b\in R$ があって， ba=1 ．同様に aR=R から，ある $b'\in R$ があって， ab'=1 ．実は， $b'=1\cdot b'=(ba)b'=b(ab')=b$ となりますから， $a\in R^\times$ となり，矛盾がおきます．

質問の補足ですが， $\mathbb{R}[[x]]$ には次の乗法が定義されているものとします． $(a_0+a_1x+\cdots )\cdot (b_0+b_1x+\cdots )\:\buildrel\mathrm{def}\over =\:\sum_{n=0}^\infty \left( \sum_{i+j=n} a_ib_j \right)x^n$

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