単振り子の直交座標の微分方程式

りきがーさんの書込 (2006/06/22(Thu) 19:34)

はじめまして，大学生なんですが，単振り子の微分方程式をたてるときって，普通は自然座標系か二次元極座標系を使いますよね？そこで，質問なんですけど，単振り子を直交座標成分にわけて，微分方程式を解くことって可能なのでしょうか？可能ならば，どうやれば，速度v(dx/dt)や変位xを求めることができますか？

単振り子の式

mA↑=mg↑＋T↑（張力）

これを直交座標成分に分解すると，

x成分

m(Ax)=Tsinα

y成分

m(Ay)=mg-Tcosα

ここから微分方程式を使えば速度Vのx,y成分を求めることができるらしいのですが，微分方程式の解き方がわかりません．どのようにといたらいいでしょうか？

Re: 単振り子の直交座標の微分方程式

toorisugari no Hiro さんのレス (2006/06/22(Thu) 20:39)

不可能ではないですが相当ややこしいかな? まず，完全な微分方程式を得なければいけません．(これだけでも結構勉強になるような．．)

そのためには，が未定なのでこれを決定しなければいけませんが，それには，拘束条件「糸の長さは変わらない」を考慮しなければいけません．

軸座標系なら自然に導入できますが，直角座標系なら

$x^2+y^2=R^2 \quad (R=\mbox{const.})$

を使ってを消去しなければいけません．なお，この式をそのまま使うより，で複数回微分して考えた方がよいと思います．(高校なら遠心力も含めた釣り合いで考えるのでしょうが，ここはがんばって計算してください．)

とりあえず，こうして x,y の完全な微分方程式が得られますが，それを解くのは．．．かなり無理かと．．．(軸座標系に戻すしかないような)

Re: 単振り子の直交座標の微分方程式

りきがーさんのレス (2006/06/22(Thu) 21:52)

早速のレスありがとうございます．

せめて張力Ｔが変位(x)や速度(v)の関数で表せたらとけるんですが．．．

const.って何ですか？すみません，無知なもので．．．まだ数学では微分方程式はおそわってないですね．．．物理の授業でさわりをやっただけです．なのに教授は，「単振り子の直交座標の微分方程式をたてて，それぞれの成分についてのvを求めるように」といってきました汗

Re: 単振り子の直交座標の微分方程式

toorisugari no Hiro さんのレス (2006/06/22(Thu) 22:09)

> せめて張力Ｔが変位(x)や速度(v)の関数で表せたら

できますよ．上の考えをよく理解してください．

> const.って何ですか？

constantの略．(後は辞書を見てください．)

> 微分方程式はおそわってないですね

微分を知っていれば方程式を出すまではいけます．がんばってください．

$m\frac{d^2x}{dt^2} &= ~~~~~~~ - T\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\\m\frac{d^2y}{dt^2} &= -mg - T\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\\x^2+y^2 &= R^2 \quad(R:~\mbox{constant})$

これから2階微分の項を消去すればいいのです．

> それぞれの成分についてのvを求めるように

これは無理っぽいような．．．角運動量の方程式を求めるならまだしも．．．

Re: 単振り子の直交座標の微分方程式

mNeji さんのレス (2006/06/22(Thu) 22:34)

水泳の腕や脚の計算をしようと準備中です．これに近い話が幾つか派生するのでちょっと気になっていますが...

この手の糸の問題は；

+糸が伸び縮みしない +糸が撓みもしない

というのがとても重要です．まるで質量のない剛体リンクと同じです．

ですから「toorisugari no Hiro」さんが提示されたように，xy座標系で考えると「T」と前面対決という不毛の戦いに巻き込まれると思います．

やはり極座標の土俵の基，

+回転角度の接線成分の運動方程式を解いて， +必要なら，動径方向の運動方程式より，「T」を計算する

のが筋では？連立微分方程式を数値積分で解くのは，それこそ多関節リンクのような場合ではないでしょうか？

Re: 単振り子の直交座標の微分方程式

mNeji さんのレス (2006/06/22(Thu) 22:41)

追伸

やや生意気にいえば，Tが決まるから運動が決まるわけではない．運動が解けるから，Tが決まるのだとおもいます．

確かに，高校生のころ，幾つもの仮説がでてから「振り子の動き」が出されたので，とても抵抗を感じたような記憶が，ほんのりと思い出しました(笑)．

Re: 単振り子の直交座標の微分方程式

yama さんのレス (2006/06/23(Fri) 00:41)

toorisugari no Hiro さんの書かれた最初の方程式にdx/dt，２番目の式にdy/dt を掛けて足し合わせてから x^2+y^2=R^2 を利用すると，T が消去されて，それを積分すると次のエネルギーの積分が得られます． $\frac{1}{2}m\left[\left(\frac{dx}{dt}\right) ^2+\left(\frac{dy}{dt}\right) ^2\right] +mgy=E$ （これはエネルギーの保存を表す式なので，運動方程式を用いなくても書くことができるでしょう．）一方， x^2+y^2=R^2 より $\frac{dx}{dt}=-\frac{y}{x}\left(\frac{dy}{dt}\right)$ となり，従って $\left(\frac{dx}{dt}\right)^2=\frac{y^2}{R^2-y^2}\left(\frac{dy}{dt}\right)^2$ が得られます．この関係を用いるとエネルギーの積分は $\frac{mR^2}{2(R^2-y^2)}\left(\frac{dy}{dt}\right)^2+mgy=E$ となるので，これから速度のy成分 $\frac{dy}{dt}$ をだけの式で表すことができます．その結果，変数分離型の微分方程式が得られ，積分して解くことができますが，積分の実際の計算は相当面倒なものになりそうです．

Re: 単振り子の直交座標の微分方程式

なんとなくさんのレス (2006/06/23(Fri) 01:20)

こんにちは．

yamaさんのやりかた（第一積分）で，(x,y)方向の速度は求まりましたが，これ，単振り子ですよね．ということは，すでにエネルギー積分の式にも片鱗が現れていますが，位置(x,y)そのものは，けっきょくは楕円積分となり，解析解はそこどまりのはずですね．初等教育問題としては，少し不適切な気もします．

Re: 単振り子の直交座標の微分方程式

toorisugari no Hiro さんのレス (2006/06/23(Fri) 09:58)

> これから速度のy成分 frac{dy}{dt} を y だけの式で表すことができます．

おお，すごい．

前言の > これは無理っぽいような．．．は撤回させていただきます．

Re: 単振り子の直交座標の微分方程式

トンガリさんのレス (2006/06/23(Fri) 10:38)

ｘ＝sin ωtを微分してｘ’＝ω cos ωtさらに微分してｘ’’＝−ω^2 sin ωt ＝−ω^2 ｘ・・・・・? は高校で習ったが，微分方程式の解き方を習ってないのが，このテーマの特徴である．

ｙ軸を鉛直下向きに置いたｘ-ｙ直角座標系で，糸の長さＲ，糸とｙ軸の成す角をθとして， θ＝0 から重りを水平方向に少しのＡだけ変位させてから，そっと離した場合を考えると，近似的に糸の張力＝重りの重力近似的に水平方向の復元力＝糸の張力 sin θ ＝重りの重力ｘ／Ｒ

よって，水平方向の運動方程式は近似式mｘ’’＝−mg ｘ／Ｒ整理してｘ’’＝−g／Ｒｘ

ここでω^2＝g／Ｒとおくと，近似式ｘ’’＝−ω^2 ｘ・・・・・・・・・・・・・・・・?

?と?の右辺を比較すると同じ式だ．あえて?を積分しなくても，解は ?の微分前の式だ．これを大学らしく表現すると，ｘ＝Ａ sin (ωt＋θ．)が?の一般解だ．半振幅Ａと位相θ．を任意定数と呼ぶが，初期条件Ａで離した時からの時間を tとすると，θ．が 90°と決まる．

重要なのは振動の周期であって，ω^2＝g／Ｒから，周期の近似式2π√(Ｒ／g)を得た．鉛直方向の運動方程式は，水平方向の解が求まった今は無用である．

ちなみに，振り子の振動とは違って，近似の必要のない最も単純な，バネ定数Kの先に質量mが付いた振動ではω^2＝K／mから，周期2π√(m／K)を得る．『バネ秤は単振動．その復元力は変位に比例するわな！』と憶えておくこと．

Re: 単振り子の直交座標の微分方程式

yama さんのレス (2006/06/24(Sat) 09:24)

微分方程式を用いると難しくなってしまいましたが，「速度成分をそれぞれの座標の関数として表す」ということに限れば，微分方程式を用いなくても，高校物理の範囲で解答できます．

エネルギーの保存の式 $\frac{1}{2}mv^2+mgy=E$ を用いると，速さをだけの式で表すことができます．その式で $y=-\sqrt{R^2-x^2}$ と置くと，をだけの式で表すことができます．速度成分は， $v_x=\pm v\sin\theta=\mp v\cdot\frac{\sqrt{R^2-x^2}}{R}\quad ,\quad v_y=\mp v\cos\theta=\pm (\mp )v\cdot\frac{\sqrt{R^2-y^2}}{R}$ となります．ただし， v_x の式ではがだけの式で， v_y の式ではがだけの式で表されているものとします．（初めに書いた式に誤りがあったので修正しました．）

Re: 単振り子の直交座標の微分方程式

りきがーさんのレス (2006/06/24(Sat) 22:49)

皆さん，ありがとうございます！！

ところで，toorisugari no HiroがたてたＹ成分の式のmgって，どうしてマイナスになるんでしょうか？g↑の成分が(0,-g)だからですか？

あと，yamaさんが教えてくださった

>>toorisugari no Hiro さんの書かれた最初の方程式にdx/dt，２番目の式にdy/dt を掛けて足し合わせてからを利用すると，T が消去されて，それを積分すると次のエネルギーの積分が得られます．

のdx/dtとdy/dtをかけるというところで質問があるんですが，それは式の両辺にそのまんまかけたらいいんですか？

Re: 単振り子の直交座標の微分方程式

yama さんのレス (2006/06/25(Sun) 00:10)

>ところで，toorisugari no HiroがたてたＹ成分の式のmgって，どうしてマイナスになるんでしょうか？g↑の成分が(0,-g)だからですか？

その通りです．つまり，上向きにy軸をとっているからです．なお，支点を原点にとっているので最下点の座標は(0,-R)になります．

>のdx/dtとdy/dtをかけるというところで質問があるんですが，それは式の両辺にそのまんまかけたらいいんですか？

その通りです． $\frac{dx}{dt}\left(\frac{d^2x}{dt^2}\right)=\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}\left(\frac{dx}{dt}\right)^2\right)\quad , \quad x\frac{dx}{dt}+y\frac{dy}{dt}=\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}(x^2+y^2)\right)$ のような関係が成り立つことに注意しましょう．

Re: 単振り子の直交座標の微分方程式

りきがーさんのレス (2006/06/25(Sun) 09:53)

ありがとうございます．

実際に演算を行っているのですが，Ｔの消去の方法がわかりません．X^2+Y^2=R^2でどのように使えばＴを消去することができるのでしょうか？

Re: 単振り子の直交座標の微分方程式

yama さんのレス (2006/06/25(Sun) 10:32)

R^2 は定数なので，微分すれば0になります．

Re: 単振り子の直交座標の微分方程式

りきがーさんのレス (2006/06/25(Sun) 16:43)

>>R^2 は定数なので，微分すれば0になります．

それはわかるんですが，その式をどう使ってTを消せばいいのかがわかりません．．．

足し合わせてもＴが残ってしまっています．Tを他の文字で表してたらいいんでしょうか？

Re: 単振り子の直交座標の微分方程式

yama さんのレス (2006/06/25(Sun) 18:08)

T を含む項だけを計算すると次のようになります． $\frac{T}{\sqrt{x^2+y^2}}\left(x\frac{dx}{dt}+y\frac{dy}{dt}\right)=\frac{T}{2R}\left(\frac{d}{dt}(x^2+y^2)\right)=\frac{T}{2R}\left(\frac{d}{dt}R^2\right)=\frac{T}{2R}\times 0=0$

Re: 単振り子の直交座標の微分方程式

りきがーさんのレス (2006/06/25(Sun) 20:24)

やっとわかりました！！！

yamaさんのいってたエネルギー保存の式に変形することができました．ありがとうございます！！

Re: 単振り子の直交座標の微分方程式

yama さんのレス (2006/06/26(Mon) 00:00)

理解できたようで良かったですね．ただ計算したら T が消えたというだけでなく，その背後にある物理的な意味も理解しておいてほしいと思います． No.9975の計算は， T_xv_x+T_yv_y=0 であることを示したものです．これはベクトルの内積を用いると $\bm{T}\cdot\bm{v}=0$ ということですが，張力 $\bm{T}$ と速度 $\bm{v}$ が互いに垂直であることを考えると，この関係は当然のことですね．また， $\bm{T}\cdot\bm{v}$ は張力 $\bm{T}$ の仕事率ですが，「張力は運動方向に垂直にはたらくので仕事をしない」ということからも，この仕事率が0になることが分かるでしょう．このように，張力や垂直抗力が仕事をしない場合は，それらの力はエネルギー保存の式には現れないことが分かると思います．

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