トンガリ さんの書込 (2006/06/12(Mon) 21:18)

断面二次モーメントの公式

• http://www.fujimfg.co.jp/benri/kansei-m01.htm

があるが，40年前と変わらぬ一覧表であって，パソコンが使える時代に合ってない． 私が一言文句を言いますので，まあ，聴いて下さい．

私は，底辺が幅b，これに垂直な左辺が高さh1，右辺が高さh2，の台形の公式が有用と考える．

この台形の断面積＝b(h1＋h2)／2・・・? であるが，式?の応用例として，任意の三角形の断面積は， その三辺について，幅bの正負を考慮して，式?を3回用いれば容易に求まる． 多くの辺を持つ任意形状の断面積の計算は，式?を辺の数の回数だけ使えば求まる．

この台形の底辺b周りの断面二次モーメント＝b(h1＋h2)(h1^2＋h2^2)／12・・・?

外形の節点座標(x，y)を一筆書きの順序で入力することにより形状を定義し， 式?を辺の数の回数だけ使えば任意形状の断面二次モーメントを計算できる．

断面二次モーメントの公式で，式?を紹介しない十年一日の如き進歩の無さに， パソコンが使える時代に遅れていると，教諭や教授の怠慢だと，私は憤慨する．

このホームページの，色々な物体の慣性モーメント１

• http://www12.plala.or.jp/ksp/mechanics/inertiaTable1/

にも，底辺が幅b，これに垂直な左辺が高さh1，右辺が高さh2，の台形の薄板 の公式があると良い．

Joh さんのレス (2006/06/13(Tue) 02:22)

トンガリさん，「色々な物体の慣性モーメント１」を書いた者です．改訂を考えます．アイデア，どうもありがとうございました．

トンガリ さんのレス (2006/06/13(Tue) 09:42)

以下を補足します．

底辺が幅b，これに垂直な左辺が高さh1，右辺が高さh2，の台形で， この台形の底辺b周りの断面一次モーメント＝b(h1^2＋h1*h2＋h2^2)／6・・・? 任意形状の二次元図形の外形一周分の?の和を断面積で割れば，底辺bからの図心(重心) が求まる．

トンガリ さんのレス (2006/06/22(Thu) 00:44)

底辺が幅b，これに垂直な左辺が高さh1，右辺が高さh2，の台形の断面相乗モーメント の式を自分で導いて，それが正しいかの検証に手間取った．やっと出来たので報告する．

式が複雑になってきたので，一貫性に少し欠けるが，上記の台形の表現形式を変更する．

X-Y座標で節点(X1,Y1)と節点(X2,Y2)と点(X2,0)と点(X1,0)の順に点間を直線で結んで出来る台形の X=0,Y=0軸基準の断面相乗モーメントIxyの式は，以前の幅bに相当する △X＝X1-X2，△Y＝Y2-Y1 を準備し，Ixy ＝(X1+X2)*Y1^2*△X／4 ＋(X1+2*X2)*(Y2+2*Y1)*△X*△Y／18 −△X^2*△Y^2／72・・・・・・・・・・・・・・・・・・?

任意の二次元図形の反時計回りに外形一周分の節点の ?の和で，その図形のX=0,Y=0軸周りの 断面相乗モーメントの値が得られる．

この値を参考書に沿って使えば，断面の主軸方向の角度や断面主二次モーメントが求まる．

トンガリ さんのレス (2006/06/22(Thu) 18:51)

式 ?,?,?,? を使って Excel 等でプログラムした場合，検証には下記の三角形が良い．

【図形データ】 節点ＡX1＝60[mm]，Y1＝10[mm] 節点ＢX2＝20[mm]，Y2＝40[mm] 節点ＣX3＝20[mm]，Y3＝10[mm] 節点Ａに戻る正三角形ＡＢＣの場合．

【正しい計算結果】(以下変数名を，図心に関してはg，主軸に関してはmで表記する．) 面積 A ＝ 600[mm^2] 図心(重心) Yg ＝ 20[mm] 図心(重心) Xg ＝ 33.33[mm] Y=0 軸周りの断面二次モーメント Ix ＝ 270000[mm^4] X=0 軸周りの断面二次モーメント Iy ＝ 720000[mm^4] X=0,Y=0 軸基準の相乗モーメント Ixy ＝ 380000[mm^4] Y=Yg 軸周りの断面二次モーメント Ixg ＝ 30000[mm^4] X=Xg 軸周りの断面二次モーメント Iyg ＝ 53333.33[mm^4] X=Xg,Y=Yg軸基準の相乗モーメントIxgyg ＝−20000[mm^4] 断面の主軸の方向 θmax ＝−29.87[X軸を基準とする反時計回りを正とする角度を度で表記] Imax＋Imin ＝ Ixg＋Iyg ＝ 83333.33[mm^4]， Imax−Imin ＝ 46308.15[mm^4] Imin ＝ 18512.59[mm^4]，Imax ＝ 64820.74[mm^4]

これ等の値は，朝倉書店の機械工学必携の242頁の例1の計算結果を参考に，大幅に編集した． 【注意】ATAN(分子/分母)でmaxまたはminの方向を，ATAN2(分母,分子)で常にmaxの方向を得る．