イデアルについて

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イデアルについて

Chappy さんの書込 (2006/06/10(Sat) 21:26)

はじめまして，大学で数学を学んでいる学部生です．今日はひとつ気になることができたので，ひとつ質問させてください．．

代数学・イデアルの記事で，イデアルの定義が，

環の部分環が次の性質を満たすとき，をイデアルと呼ぶ．

任意の $x\in I$ と任意の $r\in R$ に対して， $rx\in I$ が成り立つ．

となっていましたが，僕の持っているテキストでは，イデアルの定義が次のようになっていました．

環の<b>部分集合</b> が次の性質を満たすとき，をイデアルと呼ぶ．

(1)任意の $x,y\in I$ に対して， $x+y\in I$ が成り立つ． (2)任意の $x\in I$ と任意の $r\in R$ に対して， $rx\in I$ が成り立つ．

この定義は上の定義と同値でしょうか？自分で確かめてみたところ，結合法則が成り立っていることをどう確かめるか，というところで引っかかってしまいました．これは，任意の $x,y,z\in I$ で，の範疇で，結合法則 x(yz)=(xy)z が成り立っていて， $x(yz),(xy)z\in I$ だから，において結合法則が成り立っているという考えでよろしいでしょうか？