夏野 さんの書込 (2006/06/10(Sat) 21:12)

初めまして．高校三年生の夏野と申します． 学校で積分により面積が求められる，と教わりました．近々体積についても教わるようなのですが，この積分を使うと四次元空間の体積も求められますか？ また，もしそれが正しいとした時，ミンコフスキー空間においても積分を使うと，時空における体積のようなものが求まるのでしょうか． 時空における距離はx^2+y^2+z^2-(ct)^2で求めるのに通常の積分で四次元空間の体積を求められるのかどうかも分かりません． そもそもミンコフスキー空間における三次元の体積は？など疑問が深まるばかりなのですが，体積の話についてはどこを探しても見あたりませんでした． それとも，四次元空間において体積を出すこと自体がナンセンスなのでしょうか．もしその場合，どの辺りから話がおかしな方向に行っていますか？ 高校の物理もあまり得意なほうではなく，拙い文章ですが解答して頂けると嬉しいです．

Joh さんのレス (2006/06/11(Sun) 02:16)

わたしはよく分かりませんが，数学で公理論的には，前提として存在する体積を計算するために積分をするのではなくて，体積という概念が積分によって与えられるのだと思います．煙に巻いたように聞こえるかも知れませんが，つまりミンコフスキー空間だろうとどこだろうと，積分がきちんと定義できれば体積に相当する概念を導入できるのではないでしょうか．

ただし，はたして体積という言葉から連想される直観的イメージによくあう量になるとは限らないかも知れません．．．ミンコフスキー空間については，私よりもっと詳しい人が返事して下さるでしょう．

夏野 さんのレス (2006/06/12(Mon) 00:13)

体積という概念，とは考えてもみませんでした． 積分の定義について調べてみようと思います． お返事ありがとうございました．

ZIG さんのレス (2006/06/12(Mon) 01:49)

ミンコフスキー空間は物理学において時間と空間を動じに取り扱うための概念です． よってミンコフスキー空間において四次元体積が物理的意味を持たないならばそれはただ単に数学上の量に過ぎません． 純粋に数学としてならば四次元どころかn次元の体積を定義して求める事が可能です．（二次元体積の事を普通面積と言う）距離が√x^2+y^2+z^2-(ct)^2で与えられているとしても単に (x,y,z,ict)と座標系を取ればよいだけです．

夏野 さんのレス (2006/06/14(Wed) 01:25)

物理的意味を考えると，やはり数学になってしまいますか…． わかりやすいご説明，ありがとうございました．物理ではなく数学として四次元の積分をやってみたいと思いました．