リキ さんの書込 (2006/06/05(Mon) 23:42)

大学1年の理工学部で学んでいる者です．現在力学で運動方程式の積分などを中心に学んでいます．以下の問題が分かりません．

「質量ｍの質点が速さｖで運動しているとき，速度の２乗に比例した空気の抵抗kv^2を受けるとする．初速度ｖ0で鉛直下方に投げた後の速度の変化を調べる．重力加速度をｇとしたときv(t)を求めなさい．」

自分で途中まで解いたのですが，めちゃくちゃになってしまいよく分かりません． とりあえず運動方程式が

m*dv/dt＝mg−kv^2

になって変数分離をして，それを部分分数分解するところまでは分かるのですが，二重根号が出てきてしまったり計算に行き詰ってしまいました．答えとその導出方法が分かる方は教えていただけると嬉しいです．お願いします．

トンガリ さんのレス (2006/06/06(Tue) 15:09)

導出方法は書いてありませんが，答えだけなら，下記にあります． Ｓａｔｕｒｎの第４章雨滴の落下速度（水滴が大きいとき）

• http://www5b.biglobe.ne.jp/~saturn/meteology/04.htm

やかん さんのレス (2006/06/06(Tue) 17:02)

http://www.hepl.phys.nagoya-u.ac.jp/~iijima.nagoya/lect/ppt05.pdf

10ページあたりが参考になるでしょうか．微分方程式は四半世紀も解いてないので すみません・・・．

トンガリ さんのレス (2006/06/06(Tue) 17:40)

『 部分分数分解（だっけ？）すると 変数分離形になる 』もある． 物理難民を救うページの 重力による質点の運動（抵抗が速度の2乗）

• http://www14.plala.or.jp/phys/mechanics/10.html

toorisugari no Hiro さんのレス (2006/06/06(Tue) 19:03)

上に紹介されたURLはみていませんが，下向きの速度を持つときは で置き換えるのが常道ではないですか?

上向きの時はちょっと前に同じ問題がでていますね．このときは で置き換えてますね．

山旅人 さんのレス (2006/06/06(Tue) 21:13)

トンガリさんご紹介のサイトは，２つとも 「雨滴の落下速度」 となっており，暗黙裏に初期条件 ｔ＝０ のとき ｖ＝０ が仮定されているようです．ですので，本スレッドの要請を，肉薄はしているものの満たしていません．

正しくは，第２のサイト http://www14.plala.or.jp/phys/mechanics/10.html の下から６行目を （m/2Ak)log[(A+v)/(A-v)]＝ｔ<b>＋Ｃ'</b> とし，これから，

(A+v)/(A-v)＝Ｃexp(2Ak/m)ｔ

初期条件ｔ＝０ のとき v＝v ₀ より，Ｃ＝(A+v ₀ )/(A-v ₀ ) で，最終結果は，

<b>v＝√(mg/k)[v ₀ ＋√(mg/k)tanh√(kg/m)t]/[√(mg/k)−v ₀ tanh√(kg/m)t]</b>

となります．teX が使えないので，見にくくてすいません．

山旅人 さんのレス (2006/06/06(Tue) 23:05)

上に自分で書いた式のキタナさに辟易としながら，次のように書いた方がわかりやすいか，と考えました．

<b>v＝√(mg/k)tanh{√(kg/m)(t＋t ₀ )}</b>

ただし，v ₀ ＝√(mg/k)tanh{√(kg/m)t ₀ }，t ₀ ＝√(m/gk)tanh ^-1 {√(k/mg)v ₀ }

toorisugari no Hiro さんのレス (2006/06/06(Tue) 23:12)

すでに改良版がでてますが

> v＝√(mg/k)[v0＋√(mg/k)tanh√(kg/m)t]/[√(mg/k)−v0tanh√(kg/m)t]

分母の-は+のtypoですよね．

ですから．

リキ さんのレス (2006/06/06(Tue) 23:43)

とても馬鹿な質問をしているかもしれませんがお願いします．物理難民を救うページで部分分数分解をしていますが，そのとき分子を１にそろえるために1/2Aを掛けています．ですが，1/(A+v)-1/(A-v)の計算結果は

-2v{1/(A^2-v^2)}になるのではないんですか？

toorisugari no Hiro さんのレス (2006/06/06(Tue) 23:53)

> 1/(A+v)-1/(A-v)の計算結果は-2v{1/(A^2-v^2)}になるのではないんですか？

該当するページの記述が間違っています． のtypoですね．

リキ さんのレス (2006/06/07(Wed) 00:39)

みなさんにお礼を言うのを忘れていました．みなさん親切にたくさんの返事を有難うございます．

＞toorisugari no Hiroさん typoとはなんですか？

toorisugari no Hiro さんのレス (2006/06/07(Wed) 00:41)

> typoとはなんですか？

• http://dictionary.goo.ne.jp/search.php?MT=typo&search_history=&kind=&kwassist=0&mode=0

リキ さんのレス (2006/06/07(Wed) 00:44)

了解です．もう一度自分でも解きなおしてみます． tanhX=(e^X-e^X)/(e^X+e^X)という認識で合っていますでしょうか？

toorisugari no Hiro さんのレス (2006/06/07(Wed) 00:48)

> tanhX=(e^X-e^X)/(e^X+e^X)という認識で合っていますでしょうか？ 0になってしまいますよ．

リキ さんのレス (2006/06/07(Wed) 00:49)

あ，そうです．これでした．typoです． 解いてみます．みなさん有難うございました．解いてみて分からなければまたお願いいたします．

リキ さんのレス (2006/06/07(Wed) 19:16)

どうしても計算できません！またまた申し訳ありませんがお願いします． とりあえず部分分数分解の部分が足し算に変わったので，logの部分も積の形になると思われるのですが・・． というか前のlog/logの形になっているものもどうやって解けばいいのか分かりません．

toorisugari no Hiro さんのレス (2006/06/07(Wed) 19:33)

の計算はどうなりますか?

逆演算(微分)して元に戻りますか?

リキ さんのレス (2006/06/07(Wed) 20:08)

あ，そうですよね．．それで−になるので分数log/logの形になるわけですね． それで v=√(mg/k)×{1-Cexp(2Akt/m)}/{1+Cexp(2Akt/m)}

になりますよね？ここでどのようにtanhtを適用するんですか？

toorisugari no Hiro さんのレス (2006/06/07(Wed) 20:13)

> ここでどのようにtanhtを適用するんですか？

の定義としばらく「にらめっこ」してください．

山旅人 さんのレス (2006/06/07(Wed) 22:13)

だいぶ上の方に行ってしまいましたが，

> 分母の−は＋のtypoですよね．

toorisugari no Hiro さん，ご指摘有難うございました．typo ではなく確信犯の計算ミスでしたが…