慣性抵抗が働く物体の鉛直投げ上げについて

慣性抵抗が働く物体の鉛直投げ上げについて

とし さんの書込 (2006/05/31(Wed) 17:28)

２回目の新規投稿になるとしです． いつもここで色々な人の意見を参考にできて，とても助かっています． 今回は物体の鉛直投げ上げについての運動です．

時刻ｔ＝０において質量ｍの物体を鉛直上向きに初速v(0)で投げ上げた時の物体の運動を考える．なお，物体は速度の２乗に比例した抵抗(-kv^2)を受けながら上に向かって運動しているとする．このとき時刻ｔにおける速度v(t)を求めよ．また重力加速度をｇとし，鉛直下向きを正とする．（つまりｖ＜０のときを考える）

運動方程式は mv'=mg+kv^{2} になると思うんですが， ここからどう計算を進めていけばいいのかわかりません． 鉛直投げ上げではなく自由落下の場合は変数分離を用いて解けるのですが， 抵抗力の符号が逆になったために変数分離できなくなってしまって・・・ 求めるものが速度と時間の関係なので，速度と距離の関係を使って 運動方程式を変形して簡単にすることもできません． とき方知っている人いましたら，よろしくお願いします．

Re: 慣性抵抗が働く物体の鉛直投げ上げについて

Joh さんのレス (2006/05/31(Wed) 18:47)

よく分かりませんが，両辺を mg で割って， \frac{v'}{g}=1+\frac{k}{mg}v^{2} \equiv 1+q^{2}v^2 と置き， \frac{dv}{1+q^{2}v^2}=gdt としたら変数分離型になるような気がします．左辺は \frac{1}{1+q^{2}v^2}=\frac{1}{2}\left( \frac{1}{1+iqv} + \frac{1}{1-iqv}\right) と分離できますのでlogがたくさん出てきて，整理するとeの関数になりそうな予感です．

Re: 慣性抵抗が働く物体の鉛直投げ上げについて

とし さんのレス (2006/05/31(Wed) 22:30)

Johさん，ありがとうございます．Johさんの方法でやっていたら 確かにlogがいっぱいでてきました．． しかし，どうやら答えの中に \tan\sqrt[]{\mathstrut \frac{kg}{m}}t という \tan の形が出てくるようです． 置換方などでできるのでしょうか． 単なる計算で物理とはあまり関係ないのですが・・・

Re: 慣性抵抗が働く物体の鉛直投げ上げについて

Joh さんのレス (2006/06/01(Thu) 00:40)

>置換方

これはどういう意味ですか？答というのは，模範解答か何かでしょうか．としさんの計算結果と，答えを書いて見てください．