シュレディンガー

シュレディンガー

芹菜 さんの書込 (2006/05/16(Tue) 23:32)

はじめまして，芹菜といいます． 大学で物理を勉強しています．

時間を含まない３次元自由粒子に対するシュレディンガー方程式の解が， Ψ(x,y,z)＝ ae^{i(k_{x}x+k_{y}y+k_{z}z)} となることを示す問題がありました．

波動方程式は， Φ( \overrightarrow{\rm r} ,t)=Ψ(x,y,z)・ e^{-iEt/\hbar} となると考えます．

シュレディンガー方程式を変形して， ｋ＝ \frac{\sqrt[2]{\mathstrut 2m(V-E)}}{\hbar} とおいて， 解を ae^{ik\cdot\overrightarrow{\rm r}} と考えたのですが，これでは示せていないと思います．

どうすれば正しく考えられますか？教えてください．

Re: シュレディンガー

ｙama さんのレス (2006/05/17(Wed) 09:35)

自由粒子だから V＝0 なので，時間を含まないシュレーディンガー方程式は -\frac{\hbar ^2}{2m}\Delta\Psi=E\Psi となります． Ψ(x,y,z)＝X(x)Y(y)Z(z) と置いて両辺を XYZ で割れば変数分離できます．

Re: シュレディンガー

芹菜 さんのレス (2006/05/17(Wed) 20:05)

返信ありがとうございます． 計算してみました．

代入したあと両辺をXYZで割ると， -\frac{\hbar^{2}}{2m}\{\frac{1}{X}\frac{\partial^{2}X}{\partial x^{2}}+\frac{1}{Y}\frac{\partial^{2}Y}{\partial y^{2}}+\frac{1}{Z}\frac{\partial^{2}Z}{\partial z^{2}}\}=E

となり，各成分において

k_{x}=\frac{2mE_{x}}{\hbar^{2}}

と置いていって，解が求まる．

という考えで間違ってないでしょうか？

Re: シュレディンガー

toorisugari no Hiro さんのレス (2006/05/17(Wed) 22:45)

> k_{x}=\frac{2mE_{x}}{\hbar^{2}} > と置いていって，解が求まる．

??? E_x って何でしょう?

Re: シュレディンガー

yama さんのレス (2006/05/17(Wed) 22:49)

X，Y，Z はそれぞれ１変数の関数なので，偏微分ではなく常微分になります． \frac{1}{X}\frac{d^2X}{dx^2} は定数でなければならないので \frac{1}{X}\frac{d^2X}{dx^2}=-k_x^2 などと置くと k_x^2+k_y^2+k_z^2=\frac{2mE}{\hbar^2} が成り立つことになります．