初学者 さんの書込 (2006/04/30(Sun) 17:10)

他の掲示板でも聞いたのですが反応が無かったのでよろしくお願いします．

長さd1,d2の棒A,Bの両端にそれぞれ±q1,±q2(上端がプラス，下端がマイナスです．)の電荷を付け ，棒の中心をａだけ離しておく．棒は中心を軸として自由に回転でき，中心同士を結んだ線とのなす角は それぞれθ1，θ2である．a>>d1,d2であるような場合について・・・， 1，棒Aの電荷の±q1の組が棒Bの中心O2につくる静電ポテンシャルを求めよ． 2，上の結果より電場を求め，これより棒Ｂの電荷±q2に働く力を求めよ．

1は，-(q1d1cos1/4πεa^2)と出ました． 2なのですが，gradを使えばいいのはわかるのですが，この問題は求めたい電場の点が決まっていて 原因となる電荷の位置のほうが変化する問題なので，どのように微分すればよいかわかりません． また，仮にO2での電場を求めてもどうやってq2にかかる力を求めればよいのかわかりません．

篠原 さんのレス (2006/04/30(Sun) 22:04)

はじめまして． 篠原です．

ちゃんと解いていないので，正解は知りませんが， とりあえず１，に関して，答えにθ1が入っていないのは，おかしくないですか？ θ1＝90度の時は，O2でのポテンシャルは0になり，θ1が0度，180度では，それぞれポテンシャルが極大，極小になるような関数になるはずですよね？？

今は元気がないので，とりあえずそれだけで・・・． がんばってください :)

初学者 さんのレス (2006/04/30(Sun) 22:21)

-(q1d1cosθ1/4πεa^2)でした．すみません．

このポテンシャルは(θが一応の変数ですが)，O2でのポテンシャルですよね？ ∇をつかって電場を求めるには任意の点のポテンシャルを求めなければいけないと思うのですが，【2，上の結果より電場を求め】というのはどういうことなのでしょうか？ お返事ははいつでも結構です．

篠原 さんのレス (2006/04/30(Sun) 23:32)

>電場を求めるには任意の点のポテンシャルを求めなければいけない

はい．その通りだと思います． 【2，上の結果より電場を求め】というのは，どういうことなのでしょうねぇ〜 この問題は本から持ってきたものですか？ それとも，先生が作った問題なのでしょうか？？ 一応，aで微分すれば，電場のa方向成分は求まりますが・・・ やはり，任意の位置でのポテンシャルが分からないと，電場を求められないと私も思います．．．

一応，「電気双極子」で検索すると，電子双極子の作る任意の位置でのポテンシャル＆電場の求め方はあちこちに載っていますが・・・ この問題の場合は，出題者がどのようなとき方をさせたいのか，ちょっと分からないですねぇ・・・

初学者 さんのレス (2006/05/01(Mon) 00:16)

おっしゃるとおり，先生の作った問題です． 多数の問題集，サイトを当たってみたのですが，類題が見当たらなかったのでここで質問させていただきました．やはり，自分でデカルト座標を設定して解くのが良いのでしょうか？ ちなみに，この問題の前問(設定は同じ)には，棒Bにかかる力を求め，棒Bに働く力のモーメントを求めよ．というのがありまして，直接モーメントを求めたときと，今の問題のポテンシャルから求めたときのモーメントが一致するのを確かめる，というのが意図のようです．

わたなべ さんのレス (2006/05/01(Mon) 07:34)

面白そうな問題ですね．僕も時間を見つけて，考えてみたいと思います．

篠原 さんのレス (2006/05/01(Mon) 09:38)

わたなべさん，こんにちは :)

確かに，面白そうですね． 私も，確かめたことはありません．

では，テキストなどに載っているスタンダードな解き方をすればよいのではないでしょうか？

電気双極子が作る任意の位置でのポテンシャルを求める． ポテンシャルから，電場を求める． 電場の中におかれた電気双極子の受ける力を求める． （または，電場の中におかれた電気双極子の位置エネルギーを求めてから，これを微分して力を求める）

電気双極子の問題は，多くの問題集，テキストなどに載っています． また，googleで，「電気双極子」で検索すると，かなりの数がヒットしますよ．

ｙama さんのレス (2006/05/01(Mon) 11:56)

求めたポテンシャル φ＝-(q1d1cosθ1/4πεa^2) はO2のポテンシャルですが，求め方からわかるように，O2に限らず，任意の点のポテンシャルも同じ式で表されます． ただし，a はO1からその点までの距離，θ1はO1とその点を結ぶ線分が，長さd1の棒となす角度です． a のかわりに r を用い，θ1を単に θ で表すと，（r，θ）はO1を原点とする平面極座標と考えることができ，その点のポテンシャルが φ＝-(q1d1cosθ/4πεr^2) になるわけです． 電場は E＝-grad φ なので，r方向の成分は -∂φ/∂r で，θ方向の成分は -(1/r)(∂φ/∂θ) で計算できます．

初学者 さんのレス (2006/05/01(Mon) 16:45)

みなさん，レス有難うございます． ＞yamaさん 私も，1，で求めさせた式を任意の点の式としてみる，という方針は考えたのですが，行き詰ってしまいました． yamaさんのおっしゃる方法だとO1にポテンシャルを作る原因となる電荷がある と考えるのですよね？なぜそうなるのですか？ それと，θは問題文のθと別のものになってしまいますが式の正しさは保障されるのでしょうか？

ｙama さんのレス (2006/05/01(Mon) 17:44)

O1にポテンシャルを作る原因となる電荷があると考えるわけではありません． 電荷は棒の両端にありますが，r>>d1 のとき，ポテンシャルが近似的に φ＝-(q1d1cosθ/4πεr^2) と表されるということです．この式は近似なのでO1の近くでは成り立ちません． また近似的に，大きさq1d1の電気双極子がO1にあると考えることもできます．

±q1の電荷がつくる電場を求める場合，この電荷の位置を固定して考える必要があります． 従って棒が角度 θ だけ回転すると考えるのではなく，固定された棒に対して角度 θ の方向に距離 r だけ離れた点のポテンシャルを用いてその点の電場を計算するわけです． しかしこれは単なる視点の違いであり，θ 自体はいずれにしても同じ角度を表しています．

初学者 さんのレス (2006/05/01(Mon) 21:42)

あ，そうですね．近似していたんだった．

棒が固定されていて，ｒ(a)方向が動くと考えるのですね． 発想の転換ですね・・・． 計算してみます．

初学者 さんのレス (2006/05/02(Tue) 19:08)

電場はE(a,θ1)＝(-q1d1cosθ1/2πεa^3,-q1d1sinθ1/4πεa^3)となりました． 電荷に働く力も余弦定理でa,θ1を求めれば，計算は大変になりそうですが 求められそうですね． ありがとうございました．またよろしくおねがいします．