やかん さんの書込 (2004/04/26(Mon) 13:16)

はじめまして．社会人ですが，なんとか独学でベクトル解析の勉強を しています．入門書を読んでいて判らない所があるのですがお教えいただけますでしょうか？ １）等位面f(x,y,z)=cにおいてi+z(x)kと，j+z(y)kは接線ベクトルとなる理由 ２）ストークスの定理の証明で， -da(1)/dz*dz/dy*n(3)-da(1)/dy*n(3)=-df/dy*n(3)となる理由 についてです．偏微分記号がうまく書けなくてすみません．ただのdは偏微分記号のつもり，i,j,kは単位ベクトル，*は掛け算，z(x)はzのxによる微分，a(1)はベクトルaのx成分，n(1)は法線ベクトルのx成分です．よろしくお願いします．

崎間 さんのレス (2004/04/26(Mon) 14:08)

ベッ，ベクトル解析ですか．すっかり忘れているので，ちょっと考えさせてもらっていいでしょうか．

やかん さんのレス (2004/04/26(Mon) 15:14)

ご多忙のところご返事いただき本当に有難うございます． 大変ご無理を申し上げてすみません． でもお教えいただけるのを楽しみにしております． お忙しい事と存じますので，ご迷惑のかからない お時間，範囲で結構です．よろしくお願い致します．

崎間 さんのレス (2004/04/27(Tue) 15:08)

いつになるかはわかりませんが，そのうち必ずお返事いたします． ベクトル解析は勉強しなきゃと思っていたので丁度よかったです． そんなに忙しくはないのですが， 頭の回転が悪いので時間がかかってしまいます．

やかん さんのレス (2004/04/27(Tue) 17:02)

大変恐縮です．ご返事はいつでも結構です． これからもこの教育的で面白いサイト運営を頑張って下さい． 応援しています．では，いつかまた．

崎間 さんのレス (2004/04/28(Wed) 15:34)

1) はまだよく分からないので 2) についてです． 式を整理すると（a(1)をAと書いています），

∂f/∂y = ∂A/∂y + ∂A/∂z * ∂z/∂y

となりますから，この理由がわかればいいということですね． これは偏微分の定理です． 関数 f=A(x,y,z) と関数 z=u(x,y) が偏微分可能であるなら これらの合成関数 A(x,y,u(x,y)) は偏微分可能で

∂f/∂x = ∂A/∂x + ∂A/∂z * ∂z/∂x および ∂f/∂y = ∂A/∂y + ∂A/∂z * ∂z/∂y

が成り立ちます． （偏導関数記号∂は「らうんど」で変換すると出ました）

やかん さんのレス (2004/04/28(Wed) 17:42)

さっそくお教えいただき本当に有難うございます！ マイナスとn(3)に目を奪われて，全く気が付きませんでした（情けない・・）． 素人なりに基本は判っているつもり，と自惚れていましたが やっぱり独学の悲しさですね． でもご教示いただいて本当に嬉しいです．また本を読んでいて 判らない事があったらお聞きしてもよろしいでしょうか？ なるべくぎりぎりまで自分で考えて，まとめてするように致しますので．

シュレ猫ソフト さんのレス (2004/04/28(Wed) 22:12)

1)法線ベクトルとの内積＝０を示せばいいんですよね． 法線ベクトルは∇fだから，それと内積取ってみたら， ０になりませんでした・・・．間違ってたらすみませんが， もしかして i-z(x)k,j-z(y)k だったりしませんか？

やかん さんのレス (2004/04/29(Thu) 01:20)

シュレ猫ソフトさん，お教えいただき有難うございます！ご指摘の通り，確かに法線ベクトル∇fとの内積＝０を示せばいいんですね！ f(x,y,z)=cだから， ∇f・(i+z(x)k)=(∂f/∂x i+∂f/∂y j+∂f/∂z k)(i+z(x)k) =∂f/∂x + ∂f/∂z= 0+0=0 !! できた〜！！有難うございます！ 本当に嬉しいです！これからもこつこつ頑張りますのでどうかまた ご教示下さい．有難うございました．

やかん さんのレス (2004/04/29(Thu) 11:03)

昨日のシュレ猫ソフトさんのご指摘でわかった！ような気がいたしました． 本当にこの掲示板のおかげです．重ねて御礼申し上げます． これに味をしめて，またじゃんじゃんお聞きしてしまいそうです． これからもよろしくお願いいたします．

とんでもない偶然 さんのレス (2004/04/30(Fri) 00:00)

やかんさんへ ちょっとすみません． ∇f・(i+z(x)k)=(∂f/∂x i+∂f/∂y j+∂f/∂z k)(i+z(x)k) =∂f/∂x + ∂f/∂z= 0+0=0 これおかしいような気がします． ∇f・(i+z(x)k)=(∂f/∂x i+∂f/∂y j+∂f/∂z k)(i+z(x)k) =∂f/∂x + (∂f/∂z)×z(x) =∂f/∂x + ∂f/∂x = 2×(∂f/∂x) となって０にならないので， =∂f/∂x - ∂f/∂x =0 となるように， i-z(x)k,j-z(y)kだったのではないか？と 私はお答えしたのですが・・・． 少なくとも，∂f/∂xは0じゃないですよね？ 例えばf(x,y,z)=x^2 - y + 2z だったとしたなら，∂f/∂x=2x ですし．

とんでもない偶然 さんのレス (2004/04/30(Fri) 00:03)

やかんさんへ ちょっとすみません． ∇f・(i+z(x)k)=(∂f/∂x i+∂f/∂y j+∂f/∂z k)(i+z(x)k) =∂f/∂x + ∂f/∂z= 0+0=0 これおかしいような気がします． ∇f・(i+z(x)k)=(∂f/∂x i+∂f/∂y j+∂f/∂z k)(i+z(x)k) =∂f/∂x + (∂f/∂z)×z(x) =∂f/∂x + ∂f/∂x = 2×(∂f/∂x) となって０にならないので， ∇f・(i-z(x)k)=途中省略 =∂f/∂x - ∂f/∂x =0 となるように， i-z(x)k,j-z(y)kだったのではないか？と 私はお答えしたのですが・・・． 少なくとも，∂f/∂xは0じゃないですよね？ 例えばf(x,y,z)=x^2 - y + 2z だったとしたなら，∂f/∂x=2x ですし．

すみません．↑のなんか抜けがあったみたいです．

やかん さんのレス (2004/04/30(Fri) 08:28)

とんでもない偶然さん，レス有難うございます． ベクトル解析について，一緒に考えて，ご指摘下さる方が 複数おいでになって本当に心強いです． 私の最初の投稿時の書き方がわかりずらかったのですが， 等位面なのでｆ（ｘ，ｙ，ｚ）＝ｃ（コンスタント）なので ∂f/∂xは0なのだと思います．一般の関数ではご指摘のごとく （シュレ猫さんもお教え下さったように）確かに０になりませんね． 変な書き方でお騒がせしてすみません・・．これからも ベクトル解析のことでよろしくお願いいたします．

崎間 さんのレス (2004/04/30(Fri) 15:15)

内積をとることをすっかり忘れていました． シュレ猫ソフトさん，とんでもない偶然さんありがとうございます． やかんさん話題提供ありがとうございました． 僕も勉強になりました．答えがわかってスッキリしています．

> 判らない事があったらお聞きしてもよろしいでしょうか？
> なるべくぎりぎりまで自分で考えて，まとめてするように致しますので．

もちろんです．答えが出るとは限りませんが…． でも掲示板は僕一人ではないので，きっとなんとかなるでしょう．

airy さんのレス (2004/05/01(Sat) 15:51)

ここでは初書き込みですこんにちは． 私は化学系の大学院に所属しておりますが昔から物理が好きなので 物理系のHPもよく徘徊しております． Linuxの設定と数値計算のコンテンツは大変参考になりました． 問題は解決されたようですが次のようにして考えることもできると思います．

閉曲面の接線ベクトルは(x+Δx,y+Δy,z+Δz)-(x,y,z)でΔx,Δy,Δz→0にしたものであり，平面上の任意の媒介変数(u,v)を(x,y)として0に近づければ

Δx→0,Δy→一定の場合 (1,0,∂z/∂x)

Δx→一定,Δy→0の場合 (0,1,∂z/∂y) なので i+z(x)k→i+(∂z/∂x)kじゃないかなと思ったりして

接線と法線ベクトルの内積をとった時

=∂f/∂x + (∂f/∂z)(∂z/∂x) =2*∂f/∂x=0

でつじつまが合います，間違ってたらごめんなさい．

airy さんのレス (2004/05/01(Sat) 16:04)

>>z(x)はzのxによる微分

と書いてありますね(汗

やかん さんのレス (2004/05/01(Sat) 22:41)

また一人ベクトル解析を教えてくださる方が登場されて 本当に心強いです．

>>z(x)はzのxによる微分と書いてありますね(汗

こちらこそ，お断りしたとは言え，わかりずらい書き方ですみません．実は本には（ｘ）は右下１／４角で添字みたいに書いてあったのですが・・． ワープロ入力とは言え，やっぱりいい加減はいけませんね（反省してます） ところで， ＞閉曲面の接線ベクトルは(x+Δx,y+Δy,z+Δz)-(x,y,z)でΔx,Δy,Δz→0にした＞ものであり，平面上の任意の媒介変数(u,v)を(x,y)として0に近づければ

Δx→0,Δy→一定の場合 (1,0,∂z/∂x)

Δx→一定,Δy→0の場合 (0,1,∂z/∂y) となるところが，きっと基本的なことだと思うのですが残念ながら私レベルではちょっと難しいので，もう少し詳しくお教えいただけますか？ それと分母にΔxΔyΔzはつかなくてよろしいでしょうか？

airy さんのレス (2004/05/01(Sat) 23:29)

やかんさん，こんにちわ

あー分母にΔ入れ忘れてますね(汗 もう少し詳しく書きますと曲面上のP(x,y,z)における接線ベクトルは 点Qを(x+Δx,y+Δy,z+Δz)としたときlim(Δ→0)PQ/Δですよね． 色々な方向からΔ→0を取ることが出来ますが． PQはベクトルを表してます．

今の場合x,y,zは決まった曲面の上にありますから適当な2つの変数(u,v) を使って曲面上の点ならどんな点でも表せます． [x(u,v),y(u,v),z(u,v)]ってな感じで．

よって接線はΔu,Δv→0とした時 Δu→0,Δv→一定で点Qを点Pに近づける時 [(x(u＋Δu,v)/Δu,y(u＋Δu,v)/Δu,z(u＋Δu,v)/Δu]

Δu→一定,Δv→0で点Qを点Pに近づける時 [(x(u,v+Δv)/Δv,y(u,v+Δv)/Δv,z(u,v+Δv)/Δv]

u,vを同時に動かしながら0に近づけてもいいわけですがどっちかを固定 した時の接線を求めたほうが簡単でしょう． 接線を全部集めれば平面になります． u,vは任意にとれますからu=x,v=yとすれば上のような接線を求めることができます．

airy さんのレス (2004/05/01(Sat) 23:34)

×[(x(u＋Δu,v)/Δu,y(u＋Δu,v)/Δu,z(u＋Δu,v)/Δu] ○[(x(u＋Δu,v)-x)/Δu,(y(u＋Δu,v)-y)/Δu,(z(u＋Δu,v)-z)/Δu]

×[(x(u,v+Δv)/Δv,y(u,v+Δv)/Δv,z(u,v+Δv)/Δv] ○[(x(u,v+Δv)-x)/Δv,(y(u,v+Δv)-y)/Δv,(z(u,v+Δv)-z)/Δv]

です．

やかん さんのレス (2004/05/02(Sun) 14:36)

airyさん，ものすごくよくわかりました！ Δx→0つまり，f(x,y,z)をxで偏微分，またはyで偏微分しても 接線ベクトルになるということですね！ おかげさまで，すっきりしました．きっとまた 本を読んでいてつっかえると思いますので そのときはまたお教え下さい．有難うございました．

崎間 さんのレス (2004/05/03(Mon) 16:29)

airyさん書き込みありがとうございます．

> Linuxの設定と数値計算のコンテンツは大変参考になりました．

そう言ってもらえると嬉しいです． 今後も記事の拡充を計っていきたいです．

接線の話はとても分かりやすい解説で，僕もよく理解できました． ありがごうございました． またなにかあったらよろしくお願いします（他力本願）．