井戸型ポテンシャルについて

たらこさんの書込 (2006/02/18(Sat) 16:12)

大学3年で物理を勉強しています．

量子力学で井戸型ポテンシャルについて勉強しましたが，エネルギー準位差はなぜ小さくなっていくのですか？

たらこさん，こんにちは．nobu＠物理のかぎプロジェクトです．

質問しているのは，エネルギー準位が上がるにすれて準位の間隔が狭くなっていくのはなぜか？ということで良いでしょうか．

エネルギー固有値は，ポテンシャルによって電子の波動関数が閉じ込められるととびとびになります．この時のエネルギー準位差はポテンシャルの形状等に大きく影響されます．

例えば，「井戸の幅を変えたら準位の間隔がどうなるか」「ポテンシャルの形を二次関数の形に変えたらどうなるか」なんかを調べてみたら，考察できるのではないでしょうか．

NOBUさん，返信ありがとうございます．

ポテンシャルのサイズを変えて準位がどうなるかを計算してみました．固有値を求めると井戸の深さや幅が大きいほど数が増える事が分かりました．

また，エネルギー準位が上がるにつれ，準位の間隔が狭くなるものだと思い込んでいたのですが，実際に計算してみると逆でした(^^;すみません．

まず井戸の深さが有限である場合について，固有値を求めました．ある井戸の深さ・幅についての固有値の値は一次関数的に増えていきますが，エネルギー準位を求める際に，固有値の二乗をとるので差が大きくなると考えました．

このような考えしかできません，いいのでしょうか？

たらこさんが知りたいことがいまいち分かりません．物理的にどのように解釈できるかということで良いのでしょうか？それとも数式上の問題でしょうか？

ちなみに僕自身答えを知っているわけではないので，考察する指針として上記の提案をしました．閉じ込めの効果の強さと関係しているのではと予想はしています．面白い問題なので考えている最中です．

＞ある井戸の深さ・幅についての固有値の値は一次関数的に増えていきますが，＞エネルギー準位を求める際に，固有値の二乗をとるので差が大きくなると考えました．

井戸の深さについて固有値の値が一次関数的に増えるといのはどういう意味ですか？また固有値は特に二乗などしないと思います，波動関数の二乗は確率密度を求めるときに行いますが．