ながＴ さんの書込 (2006/02/01(Wed) 08:50)

はじめまして，某大学の工学部に通う者です．

現在テスト期間で教科書に載ってる章末問題を説いているのですが この教科書には解答のみ記載されており，解説は全く載っていません． とりあえず問題を解いてみたのですが答えと一致せず どうにも分からないので今回書き込ませていただきました．

以下がその問題です．

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雨滴が静止している霧を付着し，単位時間に質量をα(正の定数)だけ 増加しながら落下している．ｔ＝０での質量をM，速さを０として， 時刻ｔまでに落下した距離を求めよ．

(自分なりの解)

とりあえず時刻ｔの時の質量ｍ＝Ｍ＋αｔ とおいて運動方程式をたてると 雨滴から見た霧の相対速度が−ｖなので

ｍ(dv/dt)＋ｖ(dm/dt)＝ｍｇとなります

この両辺にdtをかけるとｍdv＋ｖdm＝ｍｇdt となり 先ほどのｍの値を代入して(Ｍ＋αｔ)dv＋ｖdm＝(Ｍ＋αｔ)ｇdt この両辺を積分すると

(Ｍ＋αｔ)ｖ＋ｍｖ＝(Ｍ＋αｔ)ｔｇ/２ ＋Ｃ

初期条件ｔ＝０においてｖ＝０ だからＣ＝０ ここでｍの値を代入して ２(Ｍ＋αｔ)ｖ＝(２Ｍ＋αｔ)ｔｇ/２で

ｖ＝(２Ｍ＋αｔ)ｔｇ/４(Ｍ＋αｔ) ここで両辺をｔで積分すると

ｙ＝(１/４)×ｇ{(1/2)t^2 ＋ Ｍｔ/α − (Ｍ^2/α^2)×log(Ｍ＋αｔ)}＋Ｃ(積分定数)

の形になり 初期条件を考えると

Ｃ＝Ｍ^2(ｇlogＭ)/４α^2 で 上式に代入すれば答えになると思うのですが

答えを確認したところ，最初の１/４のところが１/２でした それ以外の項は全て合っているのですが・・・ どこかで計算間違いしたとか，考え方が間違っているんでしょうか？ それとも教科書の方が間違いなんでしょうか？

ご教授お願いします．

ｙama さんのレス (2006/02/01(Wed) 16:55)

>先ほどのｍの値を代入して(Ｍ＋αｔ)dv＋ｖdm＝(Ｍ＋αｔ)ｇdt >この両辺を積分すると >(Ｍ＋αｔ)ｖ＋ｍｖ＝(Ｍ＋αｔ)ｔｇ/２ ＋Ｃ

ここが間違っていると思います． t は v の関数で，v は m の関数です．従って，左辺の t や v を定数のように扱うことはできません．

運動方程式は d(mv)/dt＝mg とも書けるので mv＝∫mgdt となります． これに m＝M+αt を代入してみてはどうでしょうか．

ながＴ さんのレス (2006/02/02(Thu) 02:15)

なるほど！ ｍdv/dt＋ｖdm/dtの部分を一つにまとめて解くんですね． そういえば教科書にも

mdv/dt＋vdm/dt＝d(mv)/dtとしてよい

という記述がありました． 上手く解けました，本当にありがとうございます！！！