面積分の計算方法
面積分の計算方法
カイ さんの書込 (2006/01/23(Mon) 19:21)
こんばんは．具体的な問題の話ではないのですが，ご意見をお聞かせください． 面積分に出てくる面積素の具体的な計算方法は，ほとんどの教科書には「曲線座標を用いて曲面をベクトルで表し，ヤコビアンによって変数変換をする」という方法が載っています． しかし，この間，図書館で見ていた演習書に「曲面に垂直な単位ベクトルをgradによって求め，それとｚ方向の基本ベクトルｋの内積が，曲面をXY平面に射影したときのcosαになる」というのを見つけました．実際に試したところ前者より遙かに計算は楽で驚きました． 後者の方法は，教科書にのってなく授業でも教えられませんでした．他の本を調べましたが載っているものは少数でした．（頭の良い人は自分で導けるかもしれませんが）一般的な方法ではないのでしょうか？皆さんはどの方法でやっていますか？
Re: 面積分の計算方法
山本明 さんのレス (2006/01/25(Wed) 05:42)
事務連絡だけで，コメントしないのも失礼ですね．
演習書に書かれているという言葉「〜」が，正直なにを指しているのか私にはわかりませんでした．
だけど面要素を求める際に，私はヤコビアンを使うことは殆んどないです． 私のやり方は，大学の講義などでその時々の先生方のやり方を見て，気に入ったものを真似した…というところです．掲示板ではちょっと説明しにくいやり方なのですが…． まあ要は正しい面要素が求められればよいのだから，ヤコビアンにこだわる必要はないですよね． カイさんも楽なやり方を見付けたならば，それを使っていいと思います． 必要に応じて，ヤコビアンも計算できるようになっていれば十分でしょう．
Re: 面積分の計算方法
カイ さんのレス (2006/01/25(Wed) 16:19)
余計なことをしてすみません．記事が二つになってしまいましたね．こちらに書きせてもらいます． ＞演習書に書かれているという言葉「〜」が，正直なにを指しているのか私にはわかりませんでした． 数式で書くと，(曲面をφとする)面の法線単位ベクトルはn=∇φ/|∇φ|ですよね？また，xy平面に射影したとき，dS=dxdy/cosαとなり，このcosαがn・k(αはxy平面の法線ベクトルと面の法線ベクトルのなす角なので)で表せるということです．説明へたですみません．
＞私のやり方は，大学の講義などでその時々の先生方のやり方を見て，気に入ったものを真似した…というところです． やはり，大学の数学ともなるといろんな方法があるんですかね？自分は授業をあまり聞いていなかったので，最近独学でやろうと思ったのですが，大学の専門書はどれも似たような内容のものばかりなのであまり新しいことは学べません．
