向き合う斜面の問題

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向き合う斜面の問題

ぽんさんの書込 (2006/01/13(Fri) 11:04)

はじめまして．ぽんと申します．大学の講義で分からない問題が出たので質問です．

偶然最近の書き込みで同様の斜面についての問題が質問されていたのでそちらを参考にさせてもらってたのですがどうしても分からないのです．

問. 水平面とそれぞれA及びBの各をなす 2つの斜面が向き合っている．第一の斜面から面に垂直な方向に投げられた物体が第二の斜面に垂直に落下したとすれば初速Voは $Vo^2\{ \sin A-\sin B\cos (A+B)\} =2ag \sin^2 B$ で定まることを示めせ．ただしとは両斜面の交線から投射点までの最短距離とする．

投射点をAをなす角の上で行うとすると投げ上げる位置(高さ)hは $h=a\sin A$ と言う事は思いつきました．しかし，それ以降がなかなか…．どうかよろしくお願いします．

Re: 向き合う斜面の問題

やかんさんのレス (2006/01/13(Fri) 16:44)

ぽんさん，はじめまして！私もやってみて答えまでたどり着かず，わからないのですが式にはｔが入ってないですよね？水平面方向をｘ軸，垂直にｙ軸とすると，各成分速度 v_x,v_y として時間t後では v_x=v_0 sin A v_y=v_0 cos A-gt ですから，これの比（ただし， v_y は負）が tan B ，もうひとつは，時間t後の位置を，例えば投げた点から水平面におろした垂線の足を原点として座標で表し，その値に，y方向の値には a sin A を足し，x方向の値には a cos A を減じて，その比がまた tan B になるとおき，２つの式から，tを消去したらどうだろうと思ったのですが，いかがでしょうか？

Re: 向き合う斜面の問題

ぽんさんのレス (2006/01/13(Fri) 22:47)

やかんさん初めまして．返信ありがとうがございます．．．

なるほど比を用いてtを消去なんですか…．私は以前の斜面の問題の書き込みから斜面に垂直で落下すると言うことを用いて $y=x\tan B$ この式に運動方程式を代入して tの式を作り，消去するものとばかり思ってました．

…どうなんでしょうか？私も少しだけですが再チャレンジしてみたのですがやはり行き詰ってしまうと言うか糸口がわからないです．．．

どうしたものなんでしょうか…．

Re: 向き合う斜面の問題

山旅人さんのレス (2006/01/14(Sat) 00:17)

私も，やかんさんがおっしゃる方法でただひたすら計算してみました．かなり大変な計算だったのですが，ぼんさんがあげている証明すべき式までたどり着きました．以下，概要を書きます．

（１）傾きＡの斜面を左側に，傾きＢの斜面を右側にし，斜面の交点を原点にとると，投射点の座標は，（−ａｃｏｓＡ，ａｓｉｎＡ）（２）斜面に直角に投射するのだから，仰角は π/２−Ａ（３）時間 t 後の速度（ｖ _x ，ｖ _y ）は，ｖ _x ＝ｖ ₀ ｓｉｎＡ …(#1)，ｖ _y ＝ｖ ₀ ｃｏｓＡ−ｇｔ …(#2) （４）時間ｔ後の位置（ｘ，ｙ）は，ｘ＝−ａｃｏｓＡ＋ｖ ₀ ｓｉｎＡ・ｔ …(#3) ｙ＝ａｓｉｎＡ＋ｖ ₀ ｃｏｓＡ・ｔ−（１/２）ｇｔ ² …(#4)

斜面Ｂに直角に衝突⇔ｖ _y /ｖ _x ＝−１/ｔａｎＢ …(#5) (#5)から計算を進めると，ｔ＝（ｖ ₀ /ｇ）ｓｉｎ（Ａ＋Ｂ）/ｓｉｎＢ …(#6)

斜面Ｂに衝突⇔ｙ/ｘ＝ｔａｎＢ …(#7)

(#7)に(#3)(#4)(#6)を代入しただひたすら計算を敢行すると， ｖ ₀ ² ［ｓｉｎＡ−ｓｉｎＢｃｏｓ（Ａ＋Ｂ）］＝２ａｇｓｉｎ ² Ｂ

Re: 向き合う斜面の問題

山旅人さんのレス (2006/01/15(Sun) 01:04)

この問題を解きながら考えたことを，書かせてください．

両斜面を，それぞれ斜面Ａ・斜面Ｂとよぶことにします．本問は，斜面Ａ上のある点をある初速で垂直に飛び出した質点が，斜面Ｂに垂直に衝突します．両斜面での衝突を完全弾性衝突（ｅ＝１）とすれば，質点は衝突直前の速さで斜面Ｂを垂直に飛び出し，その後斜面Ａに垂直に衝突します．

すなわち小球は両斜面の間を往復運動する（永久に）ことになり，“状況” は，Ａ・Ｂについて “対称” なのです．飛跡は放物線なのでその一部は軸に関し左右対称ですがそういう意味ではなく．

しかしながら，本問へのアプローチのために与えられた設定（ａ，ｖ ₀ ）は明らかに “非対称” で，このことが泥沼の計算を強いる悪の根源となっているのです．“対称性” を主眼に考えれば，もっと見通しが良くなるはずです．と考えてたどり着いたのが，以下の方法です．

質点が空中で放物運動をしている間に保存されているのは速度のｘ成分で，これをＶとする．すると，斜面Ａを飛び出すときの速度のｙ成分は，ＶｃｏｔＡ …(*1) 斜面Ｂを飛び出すときの速度のｙ成分は，ＶｃｏｔＢ …(*2) よって，投射点から最高点までの時間ｔ _A ，ｔ _B は，ｔ _A ＝（Ｖ/ｇ）ｃｏｔＡ …(*3)，ｔ _B ＝（Ｖ/ｇ）ｃｏｔＢ …(*4)

原点から投射点までの距離をａ，ｂすると，投射点間の水平距離は，ａｃｏｓＡ＋ｂｃｏｓＢ＝Ｖ（ｔ _A ＋ｔ _B ）＝（Ｖ ² /ｇ）（ｃｏｔＡ＋ｃｏｔＢ） …(*5)

最高点の高さについて，ａｓｉｎＡ＋（１/２）ｇｔ _A ² ＝ｂｓｉｎＢ＋（１/２）ｇｔ _B ² ∴ ａｓｉｎＡ−ｂｓｉｎＢ＝（Ｖ ² /２ｇ）（−ｃｏｔ ² Ａ＋ｃｏｔ ² Ｂ） …(*6)

(*5)(*6)をａ，ｂについての連立方程式と見なして解けば，与えられたＶに対する 投射点 及び 投射速度 が導かれます．

如何でしょうか．手前味噌で恐縮ですが，私はこちらの方が問題の全体像が明解になっていると思います．