運動方程式，運動量に関して
運動方程式，運動量に関して
リオ さんの書込 (2006/01/07(Sat) 18:03)
はじめまして，大学１年のリオといいます． 問題(ベクトルは大文字，添え字は_を使用，シグマの範囲は(i=1,N)でi=1からNまで足すとします）(また，F_ijはF_iがF_jに加える力) P_total=ΣP_i (i=1,N)=Σm_i・V_i (i=1,N)・・・ (i) L_total=ΣL_i (i=1,N)=Σm_iR_i - R_0)×V_i (i=1,N)・・・(ii) これらを m_i(d^2R_i/dt^2)=F_i + ΣF_ij (j≠i,) (i=1,2,・・・N)・・・(*) を用いて，それぞれ dP_total/dt=ΣF_i・V_i (i=1,N)・・・(iii) dL_total/dt=ΣR_i - R_0)×F_i + Σ(R_i - R_j)×F_ij (前側のΣがi=1,N)(後ろ側のΣが<i,j>,)・・・(iv) を満たすことを証明せよ． という問題なのですが， 一つ目に関して， dP_/dt=dmV/dt=mdR^2/dt=Fより， dP_total/dt=ΣF_i (i=1,N)となり， (i)←→(iii)とはならない気がします．(ii)←→(iv)に関してはさっぱりです． どなたか，自分のおかしいところをご指摘ください． よろしくお願いします．
Re: 運動方程式，運動量に関して
yama さんのレス (2006/01/09(Mon) 18:09)
(i)←→(iii)とはなりませんね．(iii)が間違っていて，あなたが書かれたdP_total/dt=ΣF_i (i=1,N) が正しいと思います． (iv)は次のように導けます． (ii)をtで微分すると L_total/dt=Σm_i(V_i - V_0)×V_i +Σm_i(R_i - R_0)×dV_i/dt ここで，V_i×V_i=0，Σm_iV_i=(Σm_i)V_0 なので，右辺第１項は0になります． 右辺第２項は，運動方程式を用いると Σ(R_i - R_0)×(F_i + ΣF_ij) となります．最初のΣはiについて，２番目のΣはjについての和を表します． これを展開して，F_ij=-F_ji，ΣΣF_ij=0 であることを用いると(iv)の右辺になります． なお，(iv)の右辺の2番目のΣでは，i<j のような条件が必要だと思います.
