taka さんの書込 (2006/01/01(Sun) 14:49)

あけましておめでとうございます． 投稿するのは２，３回目の機械系の学部1年の者です．

非線形力学系，特に結合振動子あたりに興味があって勉強しています． でも，専門書の類はそれに必要な数学が難しいのでひとまず数学の勉強 をしている，という状況です．

力学系に至る勉強のルートみたいなものを調べてみると， 位相→多様体（→縮約，縮退理論）→力学系 のような流れになっていることが分かりました． （もちろん微分方程式や線形代数も必要だと思いますが．）

力学系が分かればカオスや結合振動子系の本も読める様になるのかな， と思っています．

しかし，位相や多様体の勉強をしていると，（それ自体はなかなか楽し いのですが）それが力学系にどの様に使われているのかが分からなくて， 不安になるものです．

どなたか，位相や多様体の知識が力学系にどの様に応用されてるのかを 教えていただけないでしょうか．

（この提示版は”物理”の提示版なので，この質問は数学寄りすぎて場 違いだったらすみません．）

やっさん さんのレス (2006/01/02(Mon) 23:56)

あけましておめでとうございます

>この提示版は”物理”の提示版なので，この質問は数学寄りすぎて場違いだったらすみません．） この点に関しては全く問題ないと思います 大学受験に話題になることもありますし，楽器が話題に上ったこともあります

力学系についてなのですが残念ながらというか申し訳ないというか僕は力学系についてwikipediaで調べられる程度の事しか知りませんがわかる範囲でお答えしたいと思います

物理の中では問題を眺める際に実際の僕たちのいる空間で考えるのではなく関数空間で考えることがあります 例えばフーリエ空間なんかがそうです その際写像が全単射になっているかどうかとかその写像が緻密になっているかとかを気にする際に位相が出てきます だからより一般的な空間で対象を考えるときに位相や，多様体の内容が出てくるのではないかと僕は考えています 他には超関数(デルタ関数など)を定義する際にも位相の知識が必要そうな事が書いてありました

また話は少しそれますが一般相対性理論にもより一般的な空間を表現するために多様体が出てきます(位相を本の中で見かけたことはありませんね〜)

あと少し注意を 数学で言う位相(topology)と物理で言う位相(phase)は異なる概念です たまたま訳語が一致してしまったようです

何もかも中途半端ですが参考になれば幸いです

taka さんのレス (2006/01/03(Tue) 00:53)

>>やっさん ありがとうございます．抽象的な分野の話なので，初心者の人間に分かりやすく説明してくれ，というのは無理な頼み事だとは承知ですが，なにかしら外枠みたいなものは見えた感じがします．

>>物理の中では問題を眺める際に実際の僕たちのいる空間で考えるのではなく関数空間で考えることがあります 例えばフーリエ空間なんかがそうです その際写像が全単射になっているかどうかとかその写像が緻密になっているかとかを気にする際に位相が出てきます

物理で関数空間を使うってどんな場合なんでしょうか？また，なぜ全単射かどうかとか，写像が緻密かなどが問題になるんでしょうか？それらは，例えば解の安定性などの微分方程式の解の振舞いを調べるときにどの様に効いてくるのでしょうか？

あと，力学系を学ぶのに必要最低限な位相，多様体の知識が手っ取り早く書いてある本とかは無いでしょうか？

ん〜．なんだか無理な質問ばかりしてる気がしますが．．．まあ，皆様よろしくお願いします．